중계동고1수학과외, 복소수 등식에서 실수부분과 허수부분 나누기
중계동에서 학교 수업과 이동 시간을 함께 관리해야 하는 고1 학생에게는 한 줄의 계산을 빨리 끝내는 것보다, 복소수 식에서 무엇을 비교하는지 분명히 남기는 풀이가 중요하다. 특히 복소수의 실수부분과 허수부분을 섞어 처리하면 계산 결과가 맞아 보여도 등식의 조건을 놓칠 수 있다.
실수와 허수는 같은 종류끼리 비교한다
복소수는 보통 a+bi의 꼴로 나타낸다. 여기서 a가 실수부분, b가 허수부분의 계수이며, i2=-1이다. 두 복소수
a+bi=c+di
가 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 한다.
a=c, b=d
따라서 실수부분과 허수부분을 하나의 수처럼 합쳐 비교하지 않고, 두 조건으로 분리해 적어야 한다.
한 줄에서 비교를 끝낸 오답
학교 프린트에서 다음 등식을 다룬 뒤 학생은 풀이를 한 줄로 정리했다.
3x-2+(y+4)i=7+(2x-y)i
학생의 답안에는 실수부분과 허수부분을 구분하는 표시 없이 식을 정리한 뒤, 실수부분에서 얻은 조건 3x-2=7만 남아 있었다. 이 식으로부터 x=3은 구할 수 있지만, 허수부분을 비교하지 않았으므로 y에 대한 조건이 빠져 있다.
정확한 풀이는 다음과 같이 두 줄로 나뉜다.
실수부분: 3x-2=7
허수부분: y+4=2x-y
첫 번째 식에서 x=3이고, 이를 두 번째 식에 대입하면
y+4=6-y
2y=2
y=1
따라서 해는 (x,y)=(3,1)이다. 실수부분만 비교한 풀이는 x의 값만 정했을 뿐, 원래 복소수 등식을 만족하는 순서쌍 전체를 구한 것이 아니다.
계산 전에 두 부분을 표시하는 습관
이 오류를 고칠 때는 복소수 식을 보자마자 괄호나 짧은 표시로 두 부분을 분리한다. 예를 들어
(3x-2) + (y+4)i = 7 + (2x-y)i
처럼 실수부분을 첫 번째 묶음, 허수부분을 i의 계수로 표시한다. 그 다음 답안에 반드시
- 실수부분끼리 비교
- 허수부분의 계수끼리 비교
를 따로 남긴다. 허수부분 자체를 비교할 때도 (y+4)i=(2x-y)i에서 i를 숫자처럼 없애는 것이 아니라, 두 허수부분의 계수 y+4와 2x-y가 같다는 뜻으로 이해해야 한다.
조건이 추가된 문장제에서 풀이 순서 확인하기
중계주공2단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교 과제를 정리할 때에는 풀이 순서를 누가 말해 주는지보다 문제를 읽고 첫 판단을 스스로 하는지가 드러나야 한다. 다음과 같은 문장을 제시한다.
두 복소수 (2a-1)+(b+3)i와 5+(a-2b)i가 같고, a와 b는 실수이다. a+b의 값을 구하여라.
학생이 먼저 실수부분과 허수부분을 스스로 나누면
2a-1=5, b+3=a-2b
를 세운다. 첫 식에서 a=3이고, 두 번째 식은
3b+3=3
이므로 b=0이다. 따라서
a+b=3
이다. 여기서 확인할 것은 정답만이 아니다. 새로운 숫자와 추가 조건이 주어졌을 때에도 학생이 복소수 등식을 보고 먼저 실수부분과 허수부분을 나누는지, 두 조건을 모두 답안에 남기는지 관찰한다.
풀이 순서가 유지되는지 보는 기준
같은 문제를 다시 맞힌 것만으로는 충분하지 않다. 식의 숫자와 문자를 바꾼 문제에서 학생이 별도의 질문 없이
실수부분 비교 → 허수부분 비교 → 연립하여 값 결정
의 흐름을 재현하는지 확인한다. 예를 들어
(4m+2)+(n-1)i=14+(2m+n)i
에서는 실수부분에서 4m+2=14이므로 m=3, 허수부분에서 n-1=6+n이 되어 -1=6이라는 모순이 생긴다. 따라서 이 등식을 만족하는 실수 m, n은 존재하지 않는다.
이처럼 두 부분을 모두 비교하면 해가 하나로 정해지는 경우뿐 아니라 조건 자체가 모순인 경우도 판단할 수 있다. 새 숫자에서도 학생이 두 식을 세우고 각각의 결과를 끝까지 확인한다면, 복소수의 실수부분과 허수부분을 분리하는 풀이가 실제 문제 해결 과정에 자리 잡은 것으로 볼 수 있다.