중계동 고3 수학과외에서 확인한 cos x 미분의 부호 오류
중계동의 대진여자고등학교, 상명고등학교, 재현고등학교, 불암고등학교, 영신여자고등학교 등으로 통학하는 고3 학생은 이동 시간과 과제, 시험 준비를 함께 관리해야 한다. 중계시영1단지와 중계주공2단지 주변에서도 학습 시간이 분산되기 쉬워, 짧은 풀이를 하더라도 각 단계의 근거를 남기는 연습이 필요했다.
첫 줄에서 빠진 음의 부호
학생은 다음 함수를 미분하는 과정에서 답안 여백에 이렇게 적었다.
함수 f(x)=cos x에 대하여 f′(x)=sin x
이 식은 틀린 식이다. 라디안 단위에서 cos x의 미분은 −sin x이므로, 음의 부호를 빠뜨리면 이후 증가·감소 판단과 접선의 기울기도 모두 반대로 해석된다.
학생은 먼저 틀린 줄에 표시한 뒤, 각의 단위를 라디안으로 고정하고 기본 관계를 다시 확인했다.
- (sin x)′=cos x
- (cos x)′=−sin x
- 따라서 f′(x)=−sin x
예를 들어 f(x)=cos x에서 x=π/3일 때 실제 기울기는
f′(π/3)=−sin(π/3)=−√3/2
이다. 학생은 원래 오답인 sin(π/3)=√3/2와 비교해 부호가 접선의 방향을 바꾼다는 점을 확인했다. 또한 cos x는 x=0에서 최대값을 가지므로, 그 점에서 도함수가 0이고 오른쪽으로 내려가야 한다는 그래프 조건으로 역검산했다.
계수를 포함한 새 조건에서 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제를 제시했다.
g(x)=cos(3x)를 미분하고, 구간 0≤x≤π/6에서 x=π/6일 때의 기울기를 구하여라.
학생은 안쪽 함수의 계수까지 확인하여
g′(x)=−3sin(3x)
로 첫 줄부터 다시 작성했다. 이어서
g′(π/6)=−3sin(π/2)=−3
을 계산했다. cos(3x)의 입력값이 구간에서 0부터 π/2까지 증가하므로 함수가 감소한다는 그래프의 방향과도 일치한다. 계수가 바뀌어도 음의 부호와 합성함수의 계수를 함께 유지하는지 확인한 사례다.