월계동 고2수학과외: 로그함수의 정의역과 수직점근선 다시 확인하기
월계동의 월계고등학교와 염광고등학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 때는 긴 풀이보다 한 줄의 조건을 정확히 남기는 연습이 중요하다. 로그함수 문제에서는 식을 변형한 뒤에도 정의역, 수직점근선, 단조성을 함께 확인해야 한다.
x=1은 정의역에 들어갈 수 있을까?
함수 y=log₂(x-1)를 조사하는 과정에서 다음과 같은 풀이가 나왔다.
정의역: x≥1 수직점근선: x=1 단조성: 밑 2>1이므로 증가
여기서 잘못된 부분은 정의역의 경계이다. 로그의 진수는 양수여야 하므로
x-1>0에서 x>1이다. 따라서 x=1에서는 진수가 0이 되어 로그가 정의되지 않는다.
정확한 결론은 다음과 같다.
- 정의역:
(1, ∞) - 수직점근선:
x=1 - 단조성: 밑
2>1이므로 정의역에서 증가
잘못된 기호 하나를 나란히 고쳐 쓰기
풀이의 첫 줄을 다음처럼 비교해 적는다. 달라진 기호는 ≥를 >로 바꾼 것이다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
x-1≥0 → x≥1 |
x-1>0 → x>1 |
이후에는 정의역의 경계값 x=1을 수직점근선으로 기록하되, 함수값을 갖는 점으로 표시하지 않는다. 그래프에서도 x=1은 점근선이고 그래프가 그 직선 위에 찍히지 않는다.
계수와 부호가 바뀐 로그함수에서 빈칸 복원하기
다음 문항의 풀이 일부가 지워져 있다.
y=-log₃(2x+4)+1
진수 조건: 2x+4 □ 0 정의역: x □ -2 수직점근선: x=□ 밑 3은 1보다 □ 앞의 - 때문에 함수는 □
빈칸을 채우면
진수 조건: 2x+4>0 정의역: x>-2 수직점근선: x=-2 밑 3은 1보다 크고 앞의 - 때문에 함수는 감소
이다. 실제로 log₃(2x+4)는 증가하지만, 앞에 붙은 음수에 의해 함수값의 변화 방향이 반대로 바뀐다. 따라서 계수나 부호가 달라져도 먼저 진수 조건을 세우고, 그 경계에서 수직점근선을 찾은 뒤, 밑과 앞의 계수를 이용해 단조성을 판단해야 한다.
월계주공1단지와 월계주공2단지 생활권에서 학교별 귀가 시간이 달라 학습 시간이 짧더라도, 풀이 끝에 정의역 → 점근선 → 단조성 세 항목을 직접 적는 방식으로 확인할 수 있다. 답만 맞히는 것이 아니라 변형된 식에서도 이 세 근거가 남아 있는지를 살핀다.