월계동 고3 수학과외: 합성된 삼각함수의 미분을 다시 검산하는 과정
월계동의 월계고등학교와 염광고등학교 등 일반고 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 한 단원을 짧게 나누어 점검할 필요가 있다. 월계주공1단지와 월계주공2단지 생활권에서 귀가 후 공부 시간이 제한된 학생이라면, 삼각함수 미분 문제를 많이 푸는 것보다 안쪽 함수의 변화율을 빠뜨리지 않았는지 확인하는 습관을 먼저 만든다.
주기가 바뀐 식에서도 안쪽 함수의 미분을 확인하기
학생은 다음 함수의 미분에서 이전에 풀었던 단순한 sin x 문제의 순서를 그대로 적용했다.
f(x) = sin(3x - π/4)
학생이 적은 오답은 다음과 같다.
f′(x) = cos(3x - π/4)
이 식은 틀린 식이다. 바깥 함수가 sin u이고 안쪽 함수가 u = 3x - π/4이므로 연쇄법칙에 따라
f′(x) = cos(3x - π/4) · 3 = 3cos(3x - π/4)
가 되어야 한다. 학생은 괄호 안의 함수값은 유지했지만, 안쪽 함수의 변화율인 u′(x) = 3을 빠뜨렸다. 주기나 계수가 바뀐 삼각함수에서는 겉모양이 sin이라는 이유만으로 cos만 쓰면 안 되고, 안쪽 변수와 그 미분을 함께 확인해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 변수 관계부터 다시 세우기
- 첫 줄에서 u = 3x - π/4라고 두고 안쪽 변수와 바깥 함수를 분리한다.
- 틀린 줄의 cos(3x - π/4)에 밑줄을 긋고, 빠진 인수가 무엇인지 표시한다.
- du/dx = 3을 계산한 뒤 바깥 미분 결과에 곱한다.
- 수정된 식 f′(x) = 3cos(3x - π/4)를 원식의 특정 점에 대입해 확인한다.
예를 들어 x = π/12이면
3x - π/4 = π/4 - π/4 = 0
이므로 수정된 도함수는
f′(π/12) = 3cos 0 = 3
이다. 반면 학생의 오답은 1을 내므로 두 식이 일치하지 않는다. 그래프 관점에서도 원함수의 입력이 x의 세 배 속도로 변하므로 접선의 기울기 역시 안쪽 변화율 3의 영향을 받아야 한다.
합성 구조가 달라졌을 때 독립적으로 검증하기
같은 절차를 단순히 반복하지 않고, 다음과 같이 안쪽 식과 계수를 바꾼 문제를 새로 확인한다.
g(x) = 2sin(x² + π/6)
안쪽 함수를 v = x² + π/6로 두면 v′ = 2x이다. 따라서
g′(x) = 2 · cos(x² + π/6) · 2x = 4xcos(x² + π/6)
이다. 여기서도 sin(x²)처럼 보인다고 해서 2x를 생략하면 안 된다. x = 0을 대입하면 수정된 도함수는 0이 되고, 원함수의 입력 변화율도 2x = 0이므로 접선의 기울기가 0이라는 결과와 맞는다. 주기가 달라지거나 안쪽 함수가 제곱식으로 바뀌어도, 첫 줄에서 변수 관계를 세운 뒤 끝까지 유지해야 한다.