월계동고1수학과외

월계동고1수학과외, i의 거듭제곱을 4의 주기로 줄이는 계산

월계고등학교나 염광고등학교의 학교 프린트에서 복소수 계산을 다룰 때, i의 지수를 4로 나눈 나머지만 먼저 확인하면 긴 계산을 짧게 바꿀 수 있다. 월계주공1단지·2단지 생활권에서 귀가 후 공부 시간이 짧은 날에도 이 판단을 먼저 연습하는 것이 효율적이다.

i의 값은 네 번마다 같은 순서로 돌아온다

허수 단위의 기본 관계는 i² = -1이다. 따라서

i¹ = i,　i² = -1,　i³ = -i,　i⁴ = 1

이고, i⁴ = 1이므로 지수에 4가 더해져도 값은 변하지 않는다. 지수 n을 4로 나눈 나머지가 r이면 iⁿ은 i^r의 값으로 정리할 수 있다. 단, 나머지가 0이면 i⁰ = 1로 처리한다.

27을 그대로 계산하려던 풀이에서 빠진 한 줄

예를 들어 i²⁷을 계산할 때 학생은 지수를 27까지 늘어놓으며 계산하려 했고, 오답표에도 ‘지수를 4로 나눈 나머지 확인’ 표시가 없었다. 이 식은 다음처럼 바꾸면 된다.

27 = 4×6 + 3

그러므로

i²⁷ = i^4×6+3 = (i⁴)⁶i³ = 1⁶·(-i) = -i

학생이 i²⁷을 i⁴·i²³처럼 계속 분해한 것은 계산 자체가 불가능해서가 아니라, 주기를 이용해 지수를 줄이는 판단이 풀이에 나타나지 않았기 때문이다.

지수를 줄이는 행동을 식의 첫 줄에 고정하기

연습할 때는 답만 적지 않고 지수 옆에 나눗셈을 남긴다. 예를 들어

i⁴⁶:　46 = 4×11 + 2　→　i⁴⁶ = i² = -1

i³⁵:　35 = 4×8 + 3　→　i³⁵ = i³ = -i

i⁵²:　52 = 4×13 + 0　→　i⁵² = 1

특히 나머지가 0일 때 i⁰을 빠뜨리고 0이라고 쓰지 않도록 주의해야 한다. 지수의 나머지는 값이 아니라 주기표에서 선택할 위치를 뜻한다.

괄호가 생기면 먼저 전체를 거듭제곱하는지 구분한다

새로운 식에서는 i¹⁸과 (i²)⁹처럼 괄호의 위치가 달라질 수 있다. 두 식 모두 이 문제에서는 -1이지만, 계산 구조는 다르다.

i¹⁸은 18을 4로 나누어 i² = -1로 정리한다. 반면 (i²)⁹은 먼저 i² = -1을 구한 뒤 (-1)⁹ = -1을 계산한다. 괄호가 있는 식을 무조건 지수만 4로 나누면 안 되고, 어느 부분이 거듭제곱의 밑인지 확인해야 한다.

피곤한 날에는 긴 전개보다 중간식 보존을 확인한다

학교별 시험 범위와 수행평가가 겹쳐 평일 귀가 후 시간이 부족한 날에는 높은 지수의 식을 여러 개 풀기보다, 나머지를 적은 중간식을 남기는 훈련이 적절하다. 예를 들어 (i³)¹⁴을 풀 때 다음 줄을 유지한다.

(i³)¹⁴ = i⁴²,　42 = 4×10+2,　i⁴² = i² = -1

계산이 틀리면 답만 지우지 말고 어느 줄에서 i⁴²를 i²로 바꾸지 못했는지 표시한다. 이 과정을 먼저 시작하는지가 주기 활용이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았는지 보여준다.

괄호 위치를 바꾼 식으로 확인하는 방법

마지막에는 i²⁹ 대신 괄호가 있는 (i³)⁹을 제시한다. 학생은

(i³)⁹ = i²⁷,　27 = 4×6+3,　i²⁷ = i³ = -i

처럼 중간식을 남겨야 한다. 만약 i²⁷을 i²로 잘못 바꾸었다면, 27을 4로 나눈 나머지가 3이라는 줄부터 스스로 찾아 고치는지 확인한다. 같은 식의 정답을 외운 것이 아니라 괄호가 달라진 조건에서도 나머지와 주기표를 먼저 적용하는지가 판단 기준이다.