상계동고2수학과외

상계동고2수학과외에서 확인한 로그 그래프의 한 칸 차이

상계고등학교, 청원고등학교, 청원여자고등학교, 용화여자고등학교, 노원고등학교, 수락고등학교가 있는 상계동 생활권에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 달라 같은 로그 단원이라도 풀이 기록을 세밀하게 살펴야 한다. 상계2-6단지나 상계7~9단지처럼 귀가 시간이 일정하지 않은 환경에서는 긴 설명보다 계산 줄에서 정의역과 그래프의 근거가 남아 있는지가 중요하다.

x=1은 그래프가 닿는 점이 아니라 다가가는 경계

문제의 함수가 다음과 같다고 하자.

y=log₂(x-1)

로그의 진수는 양수여야 하므로

x-1>0 → x>1

따라서 정의역은 (1, ∞)이다. 진수가 0이 되는 x=1에서는 로그가 정의되지 않으므로 x=1을 정의역에 포함할 수 없다. 또한 x가 1보다 큰 쪽에서 1에 가까워질 때 x-1이 0에 가까워지므로 함수값은 음의 무한대로 내려간다. 따라서 수직점근선은 x=1이지만, 점근선이라는 사실은 그 직선 위의 점을 함수가 포함한다는 뜻이 아니다.

계산 흔적에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

달라진 기호는 ≥에서 >로 바뀐 것 하나다. x=1을 대입하면 y=log₂0이 되어 정의되지 않으므로, 그래프의 수직점근선 x=1과 정의역의 끝점 x=1을 같은 방식으로 읽어서는 안 된다.

식의 이동량과 점근선을 함께 연결하기

학생이 기본식에서만 x>1을 찾고 변형된 식에서는 그래프 근거를 다시 세우지 못했다면, 다음 두 줄을 반드시 함께 적게 한다.

y=log₂(x-1)+3

진수 조건: x-1>0 → 정의역 x>1

수직점근선: x=1

여기서 바깥의 +3은 그래프를 위로 이동시키지만 정의역과 수직점근선은 바꾸지 않는다. 반면 진수 안의 이동이 바뀌면 두 결과가 함께 달라진다. 예를 들어 y=log₂(x+2)-1에서는

x+2>0 → x>-2

이고 수직점근선은 x=-2이다. 답안에는 먼저 진수 조건을 쓰고, 그 경계값을 수직점근선으로 옮겨 적는 순서를 남긴다.

두 조건이 동시에 바뀐 식으로 확인하기

다음 문제에서는 안쪽 이동과 밑을 동시에 바꾼다.

y=log_1/2(3-x)+2

풀이 순서를 처음부터 재구성하면, 밑 조건은

0<1/2<1

으로 만족한다. 정의역은 진수 조건에서 결정된다.

3-x>0 → x<3

따라서 정의역은 (-∞, 3), 수직점근선은 x=3이다. +2는 세로 이동이므로 이 두 결과에 영향을 주지 않는다. 밑이 1/2이라는 사실은 함수가 감소한다는 그래프의 방향과 관련되지만, 정의역 조건을 x≤3으로 바꾸지는 않는다.

마지막으로 x=3을 대입해 진수 0이 되는지 확인하고, 정의역에 포함하지 않은 채 수직점근선으로만 표시했는지 점검한다. 새로운 식에서도 진수 조건 → 정의역 → 경계값으로 수직점근선 결정 → 바깥 이동 확인의 흐름이 유지되어야 그래프 근거를 독립적으로 적용한 것으로 볼 수 있다.