상계동고3수학과외

상계동 고3 수학과외에서 잡은 미분 첫 줄의 오류

상계고등학교, 청원고등학교, 청원여자고등학교, 용화여자고등학교, 노원고등학교, 수락고등학교가 있는 상계동 생활권에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 점검 시간을 배치할 필요가 있다. 이 학생은 귀가 후 문제를 많이 풀기보다, 해설과 비교할 때 최초 오류를 표시하고 미분 규칙을 근거로 다시 검산하는 훈련을 우선했다.

마지막 답이 아니라 첫 번째 줄을 확인하기

학생은 다음 함수를 미분하는 과정에서 첫 줄을 잘못 적었다.

함수: y = sin(2x)

학생의 풀이: y' = cos(2x)

이 식은 정답이 아니다. 바깥 함수 sin u를 미분하면 cos u가 되고, 안쪽 함수 u=2x의 미분값 u'=2를 곱해야 한다. 따라서 연쇄법칙에 따라

y' = cos(2x)·2 = 2cos(2x)

가 정확한 식이다. 학생이 ‘계산 실수’라고만 표시하면 왜 2가 빠졌는지 다시 확인하기 어렵다. 그래서 틀린 줄에 직접 ‘안쪽 함수의 미분값 누락’이라고 적고, 사용한 규칙을 옆에 남겼다.

조건과 변수 관계를 식으로 고정하기

u=2x로 두면

y=sin u, dy/du=cos u, du/dx=2

이므로

dy/dx = (dy/du)(du/dx) = cos u·2 = 2cos(2x)

이다. 이 과정을 통해 학생은 cos(2x)의 2가 단순한 계수가 아니라, 입력값 2x가 변하는 속도에서 나온다는 점을 확인했다.

대표값을 넣어 오답을 제거하는 검산

x=0을 대입하면 원함수는 sin(2x)의 순간변화율이므로 정답식은 2cos0=2를 준다. 오답식 cos0=1은 서로 다르다.

또 x=π/4에서는 정답식이

2cos(π/2)=0

이고 오답식도 0이어서 이 값만으로는 오류가 드러나지 않는다. 따라서 학생은 대표값 하나만으로 결론을 내리지 않고 x=0과 x=π/4를 함께 대입했다. 그래프에서도 sin(2x)는 sin x보다 x축 방향 변화가 두 배 빠르므로 도함수의 크기에 2가 반영되어야 함을 확인했다.

바뀐 함수로 독립 검증하기

같은 문제를 반복하지 않고 다음 조건으로 다시 풀었다.

f(x)=x²sin(3x)의 도함수를 구하여라.

곱의 미분법과 연쇄법칙을 각각 적용하면

f'(x)=2xsin(3x)+x²·3cos(3x)

즉,

f'(x)=2xsin(3x)+3x²cos(3x)

이다. 학생은 곱을 몫으로 바꾸어 처리하는 잘못된 접근을 버리고, 두 항을 분리한 뒤 sin(3x)의 미분에서 안쪽 계수 3을 확인했다. x=0을 대입하면 원식의 변화율과 도함수 모두 0이므로 식을 검산할 수 있고, x=π/6에서는

f'(π/6)= (π/3)·1 + 3(π²/36)·0 = π/3

이 되어 계수와 함수 구조가 함께 맞는지 확인된다.