상계동고1수학과외

상계동고1수학과외, i의 거듭제곱을 4주기로 줄이는 판단

상계동의 고등학교 프린트에서 복소수 계산을 연습하던 학생이 i² = -1을 알고도 다음 식 앞에서 멈췄다.

i²⁷ = i²⁶·i = (-1)²⁶·i = i

이 풀이는 지수를 처리하는 과정에서 i²⁶을 잘못 바꾼 사례다. i²⁶은 i²의 13제곱이므로 (-1)¹³ = -1이고, 따라서 i²⁷ = -i이다.

지수 27보다 먼저 확인할 것은 4로 나눈 나머지

i의 거듭제곱은 네 번마다 처음으로 돌아온다.

i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1

따라서 iⁿ에서 지수 n을 4로 나눈 나머지만 보면 된다. 27을 4로 나누면 나머지가 3이므로

i²⁷ = i³ = -i

나머지가 0이면 값은 1, 1이면 i, 2이면 -1, 3이면 -i이다. 이는 지수를 무리하게 큰 수 그대로 계산하지 않고, i²가 나타나는 순간 -1로 치환하는 방식과 같은 결과를 준다.

학생의 계산에서 빠진 한 줄

학생은 i³⁸을 계산하면서 지수를 그대로 전개했다.

i³⁸ = i¹⁹·i¹⁹ = i·i = i² = 1

여기서 i¹⁹을 i로 둔 것이 오류다. 19를 4로 나눈 나머지는 3이므로 i¹⁹ = i³ = -i이다. 따라서

i³⁸ = i² = -1

또는 38을 4로 나눈 나머지가 2이므로 곧바로 i³⁸ = -1이라고 판단할 수 있다. 학생이 계산을 시작하기 전에 ‘지수를 4로 나눈 나머지’를 적지 않았기 때문에, 주기를 활용할 기회가 풀이에서 사라졌다.

복소수의 실수항과 허수항을 따로 정리하기

수정할 때는 i²이 보이면 즉시 -1로 바꾼다. 예를 들어

i¹⁷ + 3i²² = i + 3(-1) = -3 + i

이다. 17의 나머지는 1이므로 i¹⁷ = i이고, 22의 나머지는 2이므로 i²² = -1이다. 마지막에는 실수항 -3과 허수항 i를 분리하여 복소수를 -3 + i 꼴로 적는다.

상계고등학교, 청원고등학교, 청원여자고등학교, 용화여자고등학교, 노원고등학교, 수락고등학교 등 상계동 내 학교의 수학 범위와 수행평가 일정이 서로 다를 수 있으므로, 평일 귀가 뒤 짧은 시간에는 새로운 문제를 많이 풀기보다 해당 프린트의 거듭제곱 식에서 나머지와 부호를 기록하는 훈련을 우선할 수 있다.

부호가 바뀐 복소수 좌표로 확인하기

계산을 반복하는 대신 조건을 바꾼 문제로 확인한다.

문제: z = i¹¹ - 2i¹⁴를 복소평면의 점 (x, y)로 나타내라.

11을 4로 나눈 나머지는 3, 14를 4로 나눈 나머지는 2이므로

z = i³ - 2i² = -i + 2 = 2 - i

따라서 실수항이 x = 2, 허수항의 계수가 y = -1이어서 점은 (2, -1)이다. 부호 하나를 반대로 바꾼 계산에서는 먼저 x와 y의 순서를 확인해야 한다. 2 - i를 (-1, 2)로 쓰면 값 자체는 같지 않으며, 복소평면에서도 오른쪽으로 2, 아래로 1인 점과 왼쪽으로 1, 위로 2인 점은 서로 다르다.

새 식에서도 학생이 지수를 4로 나눈 뒤 i²을 -1로 바꾸고, 마지막에 실수항과 허수항의 계수를 x와 y 순서로 확인했다면 주기 판단이 계산 속에 자리 잡은 것으로 본다. 그 확인 행동이 빠졌다면 정답이 맞아도 다시 점검할 항목으로 남긴다.