정의역을 쓰지 않으면 점근선도 잘못 읽힌다
y=log2(x-1)의 그래프를 그리며 x=1을 정의역에 포함한 답안이 나왔다. 식에 x=1을 대입하면 진수가 0이 되어 로그가 정의되지 않으므로, 이 값은 그래프가 접근하는 수직점근선일 뿐 함수에 포함되는 입력값이 아니다.
x-1>0에서 시작하는 그래프 판별
로그함수는 밑 조건과 진수 조건을 만족해야 한다. 여기서는 밑 2가 0보다 크고 1이 아니며, 진수에 대해
x-1>0 ⟹ x>1
이므로 정의역은 (1, ∞)이다. x가 1보다 오른쪽에서 1에 가까워질 때 x-1은 양수인 채 0에 가까워지고, 따라서 log2(x-1)은 음의 무한대로 내려간다. 그러므로 수직점근선은 x=1이다.
점근선은 정의역에 들어가는 값이 아니다
답안에 적힌 “정의역: x≥1, 점근선: x=1”은 두 판단이 충돌한다. x=1에서는 로그값이 존재하지 않기 때문이다. 정의역 표기는 반드시 x>1로 남겨야 하며, 점근선 x=1은 함수가 정의되지 않는 경계로 해석해야 한다.
공릉동에서 고2수학과외 과제를 점검할 때도 학교 프린트를 푼 뒤 답만 확인하기보다, 귀가 후 풀이 첫 줄에 진수 조건이 적혀 있는지 살피면 좋다. 이 문제에서는 계산을 더 진행하는 것보다 진수 조건을 식 위에 먼저 쓰는 행동이 판단의 출발점이다.
누락된 조건을 한 줄로 되살리는 연습
답안의 잘못된 줄을 모두 지우지 않고 다음처럼 고친다.
y=log2(x-1), x-1>0 ⟹ x>1
그 뒤 정의역을 x>1로 표시하고, 진수가 0이 되는 경계값 x=1을 수직점근선으로 따로 기록한다. 정의역과 점근선을 한 줄에 섞지 않는 것이 훈련의 기준이다.
조건이 비어 버리는 경우까지 확인하기
다음 조건에서 같은 절차를 적용한다.
y=log3(2-x), x≥2에서 정의되는가?
진수 조건은
2-x>0 ⟹ x<2
이다. 함수의 정의역은 (−∞, 2)이고 수직점근선은 x=2다. 문제에서 요구한 x≥2와 정의역 x<2의 공통 범위가 없으므로, 해당 조건에서 가능한 x는 없다. x=2를 포함시키면 진수가 0이 되므로 역시 허용되지 않는다.
새 식에서 먼저 진수 부등식을 적고, 정의역과 주어진 범위의 교집합을 확인했다면 조건이 바뀌어도 같은 오류를 피한 것이다.