공릉동 고3 수학과외: sin x의 미분에서 각의 단위 확인하기
공릉동에서 귀가 후 과제를 시작하는 고3 학생이 삼각함수 미분 문제의 첫 줄에서 자주 멈췄다. 공릉1단지아파트와 공릉2단지 생활권처럼 이동 시간이 일정하지 않은 환경에서는 짧은 문제라도 풀이 순서를 스스로 세우는 연습이 중요하다. 한국삼육고등학교와 서울동산고등학교 등 지역 내 학교, 그리고 같은 노원구의 참고 학교를 구분해 학교명보다 실제 과제량과 시험 준비 순서를 점검하는 방식으로 학습을 진행했다.
첫 줄의 부호가 틀린 이유
학생은 다음 문제를 보고 답안 여백에
sin x를 미분하면 -sin x
라고 적었다. 이 식은 틀렸다. sin x의 도함수는 cos x이며, -sin x는 cos x를 미분한 결과이다.
라디안 단위에서 미분의 정의를 적용하면
\[ \frac{d}{dx}\sin x =\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \]
이고, 덧셈정리를 사용하면
\[ \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h \]
이므로
\[ \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}. \]
라디안에서
\[ \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0,\qquad \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \]
이어서 최종적으로
\[ \boxed{\frac{d}{dx}\sin x=\cos x} \]
가 된다. 학생이 쓴 -sin x는 한 번 미분한 값이 아니라 \(\cos x\)를 미분했을 때 나오는 값이다. 따라서 함수의 이름과 미분 횟수를 분리해 확인해야 한다.
오답 줄을 표시하고 다시 계산한 과정
- 틀린 줄 표시: \(\sin x\rightarrow-\sin x\)
- 조건 확인: 각 \(x\)는 라디안으로 고정되어 있으며, \(\sin x\)의 기본 미분 관계를 적용한다.
- 식 수정: \(\sin x\rightarrow\cos x\)
- 대입 검산: \(x=0\)에서 \(\sin x\)의 순간변화율은 \(\cos0=1\)이다. 잘못된 식 \(-\sin0=0\)과 달라 오답임을 확인한다.
학생은 이후 \(f(x)=3\sin x-2x^2\)를 직접 미분해
\[ f'(x)=3\cos x-4x \]
를 얻었다. 특히 계수 \(3\)은 그대로 앞에 남고, \(\sin x\)만 \(\cos x\)로 바뀐다는 구조를 말로 설명하게 했다.
각의 단위를 바꾼 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
\[ g(x)=5\sin(2x)+x \]
라디안 단위에서 연쇄법칙을 적용하면
\[ g'(x)=5\cdot\cos(2x)\cdot2+1 =\boxed{10\cos(2x)+1}. \]
학생은 먼저 \(\sin(2x)\)를 \(-\sin(2x)\)로 바꾸려 했지만, 함수의 종류와 안쪽 함수의 미분을 따로 표시한 뒤 다시 계산했다. \(x=0\)을 대입하면
\[ g'(0)=10\cos0+1=11 \]
이다. 반면 잘못된 식은 \(-5\sin(0)\cdot2+1=1\)이므로 두 값이 다르다. 이 검산으로 부호뿐 아니라 안쪽 계수 \(2\)까지 빠뜨리지 않았는지 확인했다.
단, 각을 도 단위로 표현하면 미분 공식에 변환 계수가 추가된다. 예를 들어 \(\sin x^\circ\)는
\[ \sin\left(\frac{\pi x}{180}\right) \]
이므로
\[ \frac{d}{dx}\sin x^\circ =\frac{\pi}{180}\cos x^\circ \]
가 된다. 따라서 문제를 시작할 때 라디안인지 도 단위인지 먼저 고정하는 습관이 sin x 미분의 부호와 계수를 함께 바로잡는 핵심이다.