공릉동고1수학과외, √(-1)을 i로 바꾸는 복소수 계산
공릉동에서 학교 과제와 지필평가 준비를 함께 진행할 때 복소수 계산은 근호 부분과 실수 부분을 분리하는 습관이 중요하다. 특히 √(-1)=i로 바꾸는 순간을 놓치면, 서로 더할 수 없는 항을 하나의 근호로 합치는 오답이 생긴다.
√(-20)+√36을 √16으로 만들 수 없는 이유
학교 프린트의 식이 다음과 같다고 하자.
√(-20)+√36
학생은 답지를 확인한 뒤 틀린 줄에 표시하지 않고 정답만 덮어썼다. 풀이에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.
√(-20)+√36=√16=4
이 계산은 음의 근호와 실수 근호를 같은 종류로 보고 radicand를 합친 오류다. 제곱근의 덧셈은 일반적으로 √a+√b=√(a+b)가 아니며, 특히 √(-20)은 실수 근호로 처리할 수 없다.
i로 바꾼 뒤 두 종류의 항을 따로 둔다
먼저 음의 근호만 복소수 형태로 바꾼다.
√(-20)=√(20)√(-1)=2√5i
반면 √36은 실수이므로 6이다. 따라서 원래 식은
√(-20)+√36=2√5i+6=6+2√5i
가 된다. 여기서 6은 실수부이고 2√5i는 허수부다. 실수부와 허수부는 각각 같은 종류의 항끼리만 정리할 수 있으므로 6과 2√5i를 하나의 근호로 합치지 않는다.
답을 고치는 대신 빠진 계산 지점을 표시하기
이 학생에게는 정답을 베껴 쓰는 방식보다 식의 변환 지점을 표시하게 했다. √(-20)이 보이면 먼저 √(-1)을 i로 바꾸고, 그 다음 √20을 2√5로 정리한다.
- √(-1) → i
- √20 → 2√5
- √36 → 6
- 실수항과 허수항을 분리하여 6+2√5i로 기록
실제로 혼자 풀 때도 계산을 시작하기 전에 “음의 근호부터 i로 바꾼다”고 말하게 했다. 이전에는 이 단계를 생략한 채 다음 줄로 넘어갔지만, 이제는 √(-1)을 i로 바꾸는 줄을 풀이에 남긴 뒤 실수 계산을 이어 가는지 확인한다.
공릉동 생활 리듬에 맞춘 짧은 검산 기록
귀가 후 과제량이 많은 날에는 한 문제를 오래 붙잡기보다 풀이의 첫 변환을 기록하는 방식이 적절하다. 공릉2단지나 공릉1단지아파트 생활권에서 귀가한 뒤 학교 프린트를 풀 때도, 복소수 문항에서는 답만 적지 않고 음의 근호를 i로 바꾼 식까지 남긴다.
예를 들어 다음 식에서는
√(-45)+√49
먼저 √(-45)=√45·i=3√5i, √49=7로 분리해야 한다. 따라서 답은
7+3√5i
이다. 이 과정을 적지 않고 √4=2처럼 처리하면 실수부와 허수부를 섞은 것이므로 정답만 맞았는지보다 변환 줄이 있었는지를 살핀다.
숫자가 바뀌어도 첫 판단을 재현하는가
이튿날에는 풀이를 바로 알려주지 않은 채 제한된 문항 체류시간을 지키게 했다. 예를 들어 √(-75)+√16을 제시하면, 학생이 먼저
√(-75)=5√3i, √16=4
라고 분리하는지 확인한다. 이후 답을 완성하지 못하더라도 해결 가능한 뒤 문항으로 이동하고, 보류 표시를 남기는지 기록한다. 다시 돌아왔을 때에는 정답을 덮어쓰는 대신 음의 근호를 i로 바꾼 첫 줄부터 스스로 재현해야 한다.
새 수치에서 4+5√3i를 올바르게 얻고, 실수항과 허수항을 합치지 않으며, 막힌 문항을 표시한 뒤 이동했다면 √(-1)을 i로 바꾸는 판단이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았는지 확인할 수 있다.