남양주 고2수학과외: 끼인각을 놓치면 삼각형 넓이가 달라진다
다산동이나 별내동처럼 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 생활권에서는 풀이를 길게 반복하기보다, 한 줄의 공식 선택이 맞았는지 즉시 확인하는 훈련이 필요하다. 사인법칙·코사인법칙 단원에서 넓이를 구할 때는 변의 길이보다 두 변 사이의 각이 무엇인지 먼저 읽어야 한다.
두 변에 끼인 각은 반드시 그 두 변 사이에 있다
삼각형 ABC에서 AB=8, AC=5, ∠A=60°일 때 넓이는 다음과 같다.
[ABC] = 1/2 · AB · AC · sin∠A
= 1/2 · 8 · 5 · sin60° = 10√3.
그런데 풀이 첫 줄에 1/2 · 8 · 5 · sin∠B처럼 쓰면 공식 자체를 적용한 것이 아니다. AB와 AC가 만나는 꼭짓점은 A이므로, 두 변에 끼인 각도 ∠A여야 한다. ∠B는 AB와 BC 사이의 각이므로 AB와 AC의 넓이 공식에 넣을 수 없다.
오류를 ‘넓이 공식 선택’으로 분류하기
이 장면에서 계산 실수나 사인값 암기 오류로 분류하면 수정 방향이 흐려진다. 답안에 먼저 두 변을 표시하고, 그 끝점이 만나는 꼭짓점을 찾게 한다.
AB, AC → 공통 꼭짓점 A → sin A
이 표시를 한 뒤에야 1/2 ab sin C 형태로 대입한다. 즉, 문자 C를 무조건 넣는 것이 아니라, 선택한 두 변의 끼인각을 C 자리에 대응시키는 과정이 필요하다.
가능한 삼각형을 모두 남겨 두는 검산
이번에는 a=5, b=7, ∠A=30°인 삼각형을 생각하자. 사인법칙으로
sin B / 7 = sin30° / 5
이므로 sin B = 0.7이다. 따라서
B₁ ≈ 44.43°, B₂ ≈ 135.57°
두 후보 모두 A+B<180°이므로 각각 가능한 삼각형이다. 첫 번째 경우 C₁≈105.57°, 두 번째 경우 C₂≈14.43°가 된다. 사인법칙으로 c를 구하면
c = 5sinC / sin30° = 10sinC
따라서 넓이는 1/2 · b · c · sinA = 1.75c로 계산하며, 두 후보를 각각 대입해야 한다. 하나의 B만 선택하고 끝내면 가능한 삼각형 하나를 빠뜨린다. 마지막에는 각의 합이 180°보다 작은지, 계산한 변과 각이 원래 조건을 만족하는지 다시 확인한다.
이처럼 새로운 문제에서 먼저 두 변의 공통 꼭짓점을 찾고, 사인값의 두 후보를 모두 기록한 뒤, 각 후보를 원래 조건에 대입해 확인한다면 넓이 공식 선택 오류가 계산 줄에서 다시 나타나는지까지 확인할 수 있다.