남양주고1수학과외, 내분비로 미지점 좌표를 찾는 순서
평면좌표에서 내분점과 한 점의 좌표가 주어지면, 곧바로 수를 대입하기보다 먼저 어느 선분을 어떤 비로 나누는지 표시해야 한다. 남양주다산고등학교나 진접고등학교처럼 학교와 주거지 사이 이동 시간이 서로 다른 경우에도, 짧은 학습 시간에는 이 표시 한 줄이 계산 오류를 줄이는 출발점이 된다.
비를 확인하지 않고 계산부터 시작한 답안
점 A(1, -3)과 점 B(x, y)를 2:1로 내분하는 점이 P(5, 1)이라고 하자. 조건의 뜻은 AP:PB=2:1이다. 따라서 P는 A보다 B에 가까운 위치에 있어야 한다.
그런데 학생의 답안에는 내분 조건을 적지 않고 다음처럼 바로 식을 세운 흔적이 있었다.
5=(2+x)÷3, 1=(-6+y)÷3
x=13, y=9
이 계산은 학생이 P의 좌표에 A를 두 번, B를 한 번 반영한 것이다. 이는 AP:PB=1:2에 해당하는 가중치이므로 주어진 내분비와 맞지 않는다. 계산 과정 자체보다 먼저 빠진 것은 ‘어느 점에 2를 곱해야 하는가’를 확인하는 단계였다.
내분비를 좌표의 가중치로 바꾸기
내분점 공식에서 선분 AB를 AP:PB=m:n으로 내분하는 점 P의 좌표는
P=((n xA+m xB)/(m+n), (n yA+m yB)/(m+n))
이다. A에서 P까지의 비가 m이므로, P에 가까운 B의 좌표에 m을 곱한다. 이 문제에서는 m=2, n=1이므로
P=((1×1+2x)/3, (1×(-3)+2y)/3)
가 된다. P(5, 1)을 대입하면
5=(1+2x)/3, 따라서 15=1+2x이고 x=7이다.
또한
1=(-3+2y)/3, 따라서 3=-3+2y이므로 y=3이다. 미지점은 B(7, 3)이다.
빠진 확인 줄을 답안에 남기기
오답을 고칠 때 학생에게 전체 풀이를 무작정 다시 쓰게 하지 않고, 계산이 시작된 바로 앞에 다음 줄을 삽입하게 한다.
AP:PB=2:1이므로 P=(A+2B)/3이다.
그 뒤 x좌표와 y좌표를 따로 나누어 계산한다. 마지막에는 구한 B(7, 3)을 공식에 다시 넣어
((1+2×7)/3, (-3+2×3)/3)=(5, 1)
이 되는지 확인한다. 또한 A(1, -3), P(5, 1), B(7, 3)의 순서로 좌표를 놓으면 P가 A와 B 사이에 있고, AP의 길이와 PB의 길이가 2:1이므로 내분 조건도 일치한다.
일주일 뒤 조건을 바꿔 확인하기
일주일 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고, 점 A(-4, 2)와 점 P(2, 5)가 AP:PB=1:2가 되도록 하는 B(x, y)를 제시한다. 학생이 먼저
P=(2A+B)/3
를 적는지 본다. 좌표식은
2=(2×(-4)+x)/3, 5=(2×2+y)/3
이므로 각각 x=14, y=11이다. 답을 구하는 것뿐 아니라 내분비에 따라 A에 2, B에 1을 곱하는 이유를 스스로 표시하면, 계산 전에 조건을 확인하는 훈련이 새로운 좌표 문제에도 이어진 것으로 판단할 수 있다.
생활 리듬에 맞춘 짧은 복구 연습
별내동이나 다산동처럼 귀가 시간이 비교적 일정한 학생은 학교 프린트의 좌표 문제 한 문항에서 내분비와 가중치를 먼저 표시하는 연습을 할 수 있다. 금곡동·오남읍 등 이동 시간이 달라지는 생활권에서는 긴 풀이보다 ‘비 표시 → 공식의 가중치 대입 → 원래 좌표로 검산’ 세 줄만 남기는 방식으로 진행해도 된다. 이때 필요한 선수 개념은 좌표의 x좌표와 y좌표를 각각 계산한다는 점뿐이며, 현재 문제의 내분 조건 확인으로 바로 돌아온다.