남양주 고3 수학과외에서 확률의 첫 조건부터 점검하기
다산동과 도농동처럼 학교와 주거지의 이동 시간이 다른 생활권에서는 같은 남양주 고3 학생이라도 자습 가능한 시간이 달라질 수 있다. 그래서 짧은 시간에 확률 오답을 다시 볼 때도 풀이 전체를 지우기보다, 사건 사이의 관계가 처음 어긋난 지점을 찾는 방식이 필요하다.
맞는 중간식까지 지워 버린 오답
학생은 주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 있을 때 공을 두 번 꺼내는 문제를 다음과 같이 풀었다. 단, 첫 번째 공을 꺼낸 뒤 다시 넣지 않는다.
사건을 \(R_1\): 첫 번째가 빨간 공, \(B_2\): 두 번째가 파란 공으로 두면
\[ P(R_1)=\frac35,\qquad P(B_2\mid R_1)=\frac24=\frac12 \]
여기까지는 맞다. 그런데 학생은 다음 줄에서
\[ P(R_1\cap B_2)=P(R_1)P(B_2)=\frac35\cdot\frac25=\frac6{25} \]
라고 계산했다. 이 식은 오답이다. 첫 번째에 빨간 공을 꺼내면 남은 공은 빨간 2개, 파란 2개이므로 두 번째가 파란 공일 조건부확률은 \(\frac25\)가 아니라 \(\frac24=\frac12\)이다. 또한 \(P(B_2)\)를 조건부확률 \(P(B_2\mid R_1)\) 대신 사용했으므로 독립이라고 가정한 셈이다.
최초 오류 줄에 별표를 남기는 수정
- 오류 줄 표시: \(P(B_2)=\frac25\)라고 둔 줄에 별표를 붙인다.
- 조건 확인: 첫 번째 공을 꺼낸 뒤 다시 넣지 않으므로 두 번째 확률의 분모와 공의 구성은 첫 번째 결과에 따라 변한다.
- 식 수정: \[ P(R_1\cap B_2)=P(R_1)P(B_2\mid R_1) =\frac35\cdot\frac24=\frac3{10} \]
- 역계산: 첫 번째가 빨간 경우와 파란 경우로 나누면 \[ P(B_2)=P(R_1\cap B_2)+P(B_1\cap B_2) =\frac3{10}+\frac25\cdot\frac34 =\frac3{10}+\frac3{10}=\frac35 \]
- 총합 검산: 두 번째 공의 색으로 나눈 확률은 \[ P(B_2)+P(R_2)=\frac35+\frac25=1 \]이다.
판단 기준: 복원하지 않는 추출에서는 앞 사건의 결과가 뒤 사건의 표본공간을 바꾸므로 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)를 바로 사용할 수 없다. 먼저 \(P(B\mid A)\)를 확인해야 한다.
독립으로 바꾼 새 조건에서 다시 검증하기
이번에는 주머니에서 공을 한 번 꺼낸 뒤 다시 넣고 섞는 조건으로 바꾸었다. 빨간 공이 나올 확률은 매번 \(\frac35\)로 변하지 않는다.
\[ P(R_1\cap B_2)=P(R_1)P(B_2) =\frac35\cdot\frac25=\frac6{25} \]
이번에는 복원하므로 \(P(B_2\mid R_1)=P(B_2)=\frac25\)이고, 두 추출은 독립이다. 반대로 공을 다시 넣지 않는 원래 조건에서는 \[ P(B_2\mid R_1)=\frac12\ne\frac25=P(B_2) \]이므로 종속이다.
학생은 이제 그래프나 표를 보기 전에 먼저 “앞 사건이 뒤 확률을 바꾸는가?”를 표시한다. 표에서 각 경우의 확률을 계산한 뒤 전체 합이 1인지 확인하고, 조건부확률 기호와 곱셈정리의 순서를 대조하면 문제의 표현이 바뀌어도 첫 판단을 안정적으로 유지할 수 있다.