퇴계원고2수학과외

퇴계원고2수학과외에서 수열을 다룰 때는 식을 먼저 외우기보다, 나열된 항과 항번호의 관계가 실제로 성립하는 범위를 확인하는 과정부터 살핀다. 퇴계원역과 주공3 인근에서 학교와 이동을 마친 뒤 짧게 확보한 자습 시간에도 이 판단을 한 줄씩 기록하면 풀이의 출발점이 달라진다.

2, 5, 8에서 바로 식을 확정한 풀이

문제에 수열이

2, 5, 8, 11, …

로 제시되었다. 풀이표에는 항번호나 항값을 적지 않은 채 다음과 같이 적혀 있었다.

a_n = 3n - 1

이 식 자체는 첫째항부터 일정한 차이 3으로 이어지는 규칙을 나타낼 때 맞다. 그러나 2, 5, 8만 보고 검산 없이 확정한 점이 문제다. 유한하게 제시된 세 항만으로는 여러 규칙을 만들 수 있으므로, 문제에서 의도한 나열 규칙이 등차수열의 계속임을 확인해야 한다.

항번호 n과 항값 a_n을 분리하기

먼저 표를 만든다.

항번호 n	1	2	3	4
항값 an	2	5	8	11

항번호는 1, 2, 3, 4처럼 위치를 뜻하고, 항값은 그 위치에 놓인 2, 5, 8, 11을 뜻한다. 항값의 차이가

5 - 2 = 3,   8 - 5 = 3,   11 - 8 = 3

으로 일정하므로 공차가 3인 등차수열로 해석한다. 따라서

a_n = a₁ + (n - 1)d = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1

이며, 이때 적용 조건은 n은 자연수, n ≥ 1이다. 실제 검산도 남긴다.

a₁ = 3 × 1 - 1 = 2,   a₂ = 5,   a₃ = 8.

말로 설명한 뜻을 식으로 한 줄 바꾸기

풀이를 시작하기 전에 “n은 항의 위치이고, a_n은 n번째 항의 값이다”라고 말하게 한다. 그다음 빈 풀이를 다음처럼 바꾼다.

n = 1, 2, 3, …인 항번호에 대해 a_n = 3n - 1

이 한 줄에는 식뿐 아니라 적용 범위도 포함된다. 만약 n=0을 허용하면 3n-1=-1이 되어 제시된 수열의 항목과 맞지 않으므로, 첫째 항이 n=1에 대응한다는 점을 빠뜨리면 안 된다.

범위를 넓힌 수열에서 후보를 끝까지 확인하기

다음 수열의 20번째 항을 구한다.

5, 8, 11, 14, …

항번호와 항값을 먼저 대응시키면 a₁=5, 공차 d=3이다. 따라서 후보는

a_n = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2,   n ≥ 1

이다. 첫 항과 둘째 항만 확인하고 끝내지 않고, a₃=11, a₄=14도 대입한다. 이어서

a₂₀ = 3 × 20 + 2 = 62

로 계산한다. 새로운 수열에서도 항번호를 먼저 적고, 첫 항·공차·적용 범위를 확인한 뒤 식을 확정했다면 나열된 규칙을 일반항으로 옮기는 과정이 유지된 것이다.