퇴계원고1수학과외: 한 점과 y절편을 직선식으로 잇는 방법
퇴계원역이나 주공3 주변에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 정리할 때, 직선의 방정식 문제는 숫자를 공식에 넣는 것보다 주어진 조건을 식으로 연결하는 과정이 먼저 필요하다. 특히 한 점과 y절편이 함께 제시되면 y절편을 놓치지 않고 직선의 형태에 반영해야 한다.
y절편은 이미 직선식의 한 부분이다
직선의 방정식을 y=ax+b로 둘 때, y절편은 x=0일 때의 y값이므로 b에 해당한다. 예를 들어 직선이 점 (3, 7)을 지나고 y절편이 1이라면, y절편 조건만으로 식은 y=ax+1이 된다. 이제 점 (3, 7)을 대입하여 기울기 a를 정한다.
7=3a+1
3a=6
a=2
따라서 직선의 방정식은 y=2x+1이다. 이 문제에서 점 (3, 7)은 기울기를 결정하고, y절편 1은 상수항을 결정한다. 두 조건을 각각 식에 반영해야 한다.
공식부터 찾다가 빠진 한 줄
학교 문제지에서 같은 내용을 “점 (3, 7)을 지나고 y축과 1에서 만나는 직선”처럼 표현하자, 학생은 앞의 문제와 다른 유형이라고 판단했다. 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
기울기 공식에 대입하여
a=(7-1)/3=2
따라서 y=2x
계산한 기울기 2는 맞지만, y절편 1을 식에 연결하는 단계가 빠졌다. y=2x에 x=0을 대입하면 y=0이므로 y절편이 0이다. 주어진 y절편 1과 일치하지 않는다.
빠진 위치를 표시하고 그 줄에서 다시 시작하기
오답을 고칠 때 답 전체를 지우기보다, y절편 조건이 반영되지 않은 위치에 표시를 남긴다. 그 줄부터 다음처럼 다시 쓴다.
y절편이 1이므로 y=ax+1
점 (3, 7)을 대입하면 7=3a+1
a=2
따라서 y=2x+1
마지막에는 두 조건을 각각 확인한다. x=0이면 y=1이므로 y절편 조건을 만족하고, x=3이면 y=2×3+1=7이므로 주어진 점도 지난다. 이처럼 누락된 조건을 찾은 뒤 그 조건이 들어가야 할 식부터 다시 작성하는 훈련이 필요하다.
문장 속 숫자를 모두 식에 넣지 않기
퇴계원고등학교 프린트와 교과서의 문장제가 표현만 달라져도, 먼저 직선과 관련된 수량만 골라낸다. 예를 들어 다음 조건을 보자.
“어떤 직선은 점 (4, 9)를 지나고 y절편은 3이다. 이 직선을 관찰한 시각은 오후 4시이며, 교실에는 학생 28명이 있었다. 직선의 방정식을 구하여라.”
오후 4시와 학생 28명은 직선의 방정식에 필요한 정보가 아니다. 필요한 관계는 점 (4, 9)와 y절편 3뿐이다.
y=ax+3으로 놓으면
9=4a+3
4a=6
a=3/2
따라서 답은 y=(3/2)x+3이다. 문장에 있는 모든 숫자를 사용해야 하는 것이 아니라, 구할 식의 계수와 조건을 결정하는 수량만 선택해야 한다.
조건을 하나 더 넣은 문장제로 확인하기
이전 문제와 다른 조건에서 다음을 풀게 한다.
“직선은 점 (-2, 5)를 지나며 y절편은 1이다. 이 직선은 한 변의 길이가 6인 정사각형의 넓이를 나타내는 자료와 함께 제시되었다. 직선의 방정식을 구하여라.”
정사각형의 넓이 36은 직선의 점, 기울기, y절편을 정하는 데 필요하지 않다. y절편이 1이므로 y=ax+1로 시작한다. 점 (-2, 5)를 대입하면
5=-2a+1
4=-2a
a=-2
그러므로 직선의 방정식은 y=-2x+1이다. 학생이 불필요한 36을 식에 넣지 않고, y절편과 한 점만 골라 같은 연결 과정을 수행했다면 앞서 빠졌던 판단이 새로운 문장에서도 유지된 것으로 볼 수 있다.