퇴계원 고3 수학과외에서 먼저 점검한 확률분포의 기본 조건
퇴계원고등학교 학생은 퇴계원역과 주공3 일대의 통학 동선에서 방과 후 자습 시간을 확보하고 있었지만, 확률 문제를 풀 때 식을 세우는 데 집중한 나머지 확률의 총합이 1인지 확인하는 첫 단계를 자주 건너뛰었다. 이 때문에 답을 구한 뒤에도 분포 자체가 가능한지 다시 판단하는 데 시간이 걸렸다.
확률변수의 값보다 먼저 확인한 것
확률변수 \(X\)의 확률분포가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ P(X=x)=\frac{x+1}{10}\quad (x=0,1,2,3) \]
학생은 곧바로 \(P(X=2)=\frac{3}{10}\), \(P(X=3)=\frac{4}{10}\)처럼 필요한 값만 계산했다. 그러나 확률분포라면 각 확률이 음수가 아니고, 모든 가능한 값에 대한 확률의 합이 1이어야 한다.
\[ \sum_{x=0}^{3}P(X=x) =\frac{1+2+3+4}{10} =\frac{10}{10}=1 \]
따라서 이 식은 확률분포의 기본 조건을 만족한다. 이 확인 없이 문제를 시작하는 것이 현재 학생의 핵심 오류였다.
틀린 식을 실제 풀이 줄에서 바로잡기
변형 문제에서 \(X\)의 값이 \(1,2,3,4\)이고 각 확률이 다음과 같이 주어졌다.
\[ P(X=x)=k(x+1) \]
학생은 확률의 합을 확인하지 않고
오답: \(k(1+2+3+4)=1 \Rightarrow 10k=1\)
이라고 썼다. 이 식은 \(x=1,2,3,4\)일 때의 실제 항이 \(k(x+1)\)이라는 점을 반영하지 못한 것은 아니지만, 각 항을 잘못 나열했다. 실제 확률은 \(2k,3k,4k,5k\)이므로 합은 \(14k\)이다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 변수의 범위를 다시 확인하고 식을 수정했다.
\[ P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) =2k+3k+4k+5k=14k=1 \]
따라서
\[ k=\frac1{14} \]
이고, 각 확률은
\[ \frac17,\frac{3}{14},\frac27,\frac5{14} \]
이다. 모두 0 이상이며, 다시 더하면
\[ \frac27+\frac{3}{14}+\frac47+\frac5{14} =\frac4{14}+\frac3{14}+\frac8{14}+\frac5{14} =\frac{20}{14} \]
가 아니라는 점을 즉시 발견할 수 있다. 여기서 \(2k=\frac17=\frac2{14}\), \(3k=\frac3{14}\), \(4k=\frac4{14}\), \(5k=\frac5{14}\)이므로 정확한 합은
\[ \frac2{14}+\frac3{14}+\frac4{14}+\frac5{14} =\frac{14}{14}=1 \]
이다. 분모를 통일하는 과정에서 \(\frac27\)을 \(\frac47\)로 바꿔 쓰는 계산 실수도 함께 수정했다.
조건을 바꾼 새 문제로 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 확률변수의 값과 식을 모두 바꾸었다. \(Y\)가 \(0,1,2\)의 값을 가지고
\[ P(Y=y)=c(2y+1) \]
일 때 먼저 분포 조건을 세우면
\[ c+3c+5c=9c=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac19 \]
이다. 따라서
\[ P(Y=0)=\frac19,\quad P(Y=1)=\frac13,\quad P(Y=2)=\frac59 \]
이고, 세 확률의 합은
\[ \frac19+\frac39+\frac59=1 \]
이다. 학생은 새 조건에서도 \(c\)를 구한 뒤 확률의 합과 각 확률의 범위를 다시 대입해 확인하며, 확률분포 문제에서 식보다 먼저 값의 범위와 전체 합 조건을 점검하는 습관을 적용했다.