풍무동고2수학과외, 넓이 공식보다 먼저 확인할 변·각의 대응
풍무고등학교에서 수업을 마치고 귀가한 뒤 확보한 자습 시간에 삼각형 문제를 풀이하던 중, 계산보다 먼저 점검해야 할 조건이 드러났다. 문제의 수치만 보고 넓이 공식을 적용했지만, 두 변 사이의 끼인각을 확인하지 않아 다른 각을 넣은 것이다.
1/2ab sin C에서 C는 반드시 두 변 사이의 각
삼각형 ABC에서 변 AB=6, AC=8, ∠A=30°일 때 넓이는 다음과 같다.
[ABC] = 1/2 × AB × AC × sin∠A
= 1/2 × 6 × 8 × sin30° = 12
∠A는 변 AB와 AC가 만나는 각이므로 두 변의 끼인각이다. 그런데 풀이 흔적에는 1/2 × 6 × 8 × sin∠B가 적혀 있었다. ∠B는 AB와 BC 사이의 각이므로 주어진 두 변 6, 8의 끼인각이 아니다. 따라서 ∠B의 값이 따로 주어지지 않았다면 이 계산은 성립하지 않는다.
변과 마주 보는 각을 짝지어 코사인법칙을 세우기
변과 각의 대응을 확인할 때는 코사인법칙도 같은 원칙으로 읽어야 한다. 예를 들어 AB=6, AC=8, ∠A=60°이면 ∠A의 맞은편 변은 BC이므로
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠A
= 6² + 8² - 2·6·8·cos60° = 36+64-48=52
즉 BC=2√13이다. 각 A를 사용할 때는 A와 마주 보는 변이 아니라, A를 사이에 둔 두 변 AB와 AC를 사용한다. 변과 각의 위치가 맞지 않으면 공식 자체를 외워도 잘못된 삼각형을 계산하게 된다.
답안에 남길 한 줄: “사용한 두 변의 끼인각은 ∠A”
풀이를 다시 작성할 때는 숫자를 바로 대입하지 않고 식 옆에 조건을 한 줄 남긴다.
AB와 AC가 주어졌고, 두 변의 끼인각이 ∠A이므로
[ABC]=1/2·AB·AC·sin A
이 문장을 먼저 적은 뒤 값을 대입하면, 주어진 두 변과 무관한 각을 선택하는 오류를 줄일 수 있다. 각의 크기가 실제로 주어졌는지, 두 변이 그 각의 양옆에 놓였는지도 함께 확인한다.
각의 위치를 바꾼 검산 문제
이번에는 AB=5, BC=7, ∠B=120°인 삼각형 ABC의 넓이를 구한다. ∠B는 변 AB와 BC의 끼인각이므로
[ABC] = 1/2 × 5 × 7 × sin120°
= 35/2 × √3/2 = 35√3/4
여기서 AC를 곱하거나 ∠A를 사용하면 안 된다. 답안에는 계산 전에 “AB와 BC의 끼인각은 ∠B”라고 적었는지 확인한다. 교사의 질문 없이도 변의 이름과 각의 위치를 먼저 기록했다면, 숫자와 각의 배치가 달라진 문제에서도 넓이 공식의 적용 조건을 스스로 판별한 것이다.