풍무동고1수학과외: 중점과 한 끝점으로 다른 끝점 복원하기
풍무동의 풍무고등학교에서 수업을 마치고 이동한 뒤 확보되는 짧은 자습 시간에는 좌표 문제의 계산 순서를 한 줄씩 기록하는 연습이 효과적이다. 이 유형은 중점 공식을 외우는 데서 끝나지 않고, 주어진 끝점과 복원할 끝점의 좌표를 정확히 대응시키는 판단이 필요하다.
네 좌표를 한 식에 배치하는 복원 과정
끝점이 A(x1, y1), B(x2, y2)이고 중점이 M(a,b)라면
a=(x1+x2)/2, b=(y1+y2)/2
이다. 따라서 한 끝점 A와 중점 M이 주어졌을 때 다른 끝점 B는
x2=2a-x1, y2=2b-y1
로 복원한다. 네 좌표를 한꺼번에 적되, 실제 계산에서는 첫 번째와 세 번째 좌표를 x좌표끼리, 두 번째와 네 번째 좌표를 y좌표끼리 대응시켜야 한다.
좌표를 빠뜨린 오답식
예를 들어 A(-3, 7), 중점 M(4, 1)이 주어졌다고 하자. B를 (u,v)라 놓으면
(-3+u)/2=4, (7+v)/2=1
이어야 한다. 그런데 풀이 과정에서 중점의 x좌표만 사용해 u=8-3=5라고 적고, y좌표 식을 다음 줄에 남기지 않은 경우가 있었다. 이는 중점과 한 끝점의 네 좌표를 모두 반영하지 않은 것이다.
정확히 계산하면
u=8+3=11, v=2-7=-5
이므로 다른 끝점은 B(11,-5)이다. 실제로 두 끝점의 중점은
((-3+11)/2, (7-5)/2)=(4,1)
이 되어 주어진 중점과 일치한다.
평균을 만들 때 좌표의 자리를 지키기
학생이 좌표 네 개를 한 번에 계산한다는 것은 네 수를 모두 더해 하나의 평균을 만드는 뜻이 아니다. 중점은 좌표평면의 한 점이므로 결과도 반드시 (x좌표, y좌표) 형태여야 한다.
끝점이 C(5,-2), D(-1,8)이라면 중점은
((5+(-1))/2, (-2+8)/2)=(2,3)
이다. x좌표끼리의 평균은 2, y좌표끼리의 평균은 3이며, 이를 섞어 계산하면 좌표의 의미가 사라진다. 복원 문제에서도 같은 방식으로 중점의 x좌표에는 끝점들의 x좌표만, y좌표에는 y좌표만 넣는다.
답안에 남겨야 할 근거
연산 결과만 적지 않고 다음과 같이 중점 조건을 먼저 쓰도록 한다.
((-3+u)/2, (7+v)/2)=(4,1)
그러면
-3+u=8, 7+v=2
에서 u=11, v=-5임을 확인할 수 있다. 이 한 줄이 있으면 어떤 좌표를 사용했는지와 계수 2를 왜 곱했는지가 답안에 드러난다.
표와 그래프로 바꾼 문제에서 확인하기
수행평가 자료가 표나 그래프 형태로 바뀌면 먼저 제목과 단위를 읽는다. 예를 들어 표의 제목이 ‘두 점의 좌표’이고 단위가 좌표 단위라면, A의 x좌표와 y좌표를 각각 확인한 뒤 중점 조건에 대입해야 한다.
새 문제에서 A(6, -4), 중점 M(-2, 5)가 제시되었을 때는 곧바로 답을 쓰지 않고
((6+u)/2, (-4+v)/2)=(-2,5)
라는 줄을 먼저 세우는지 본다. 오류가 발생했다면 ‘x좌표 계산 줄’ 또는 ‘y좌표 계산 줄’처럼 잘못된 위치를 정확히 지목한다. 두 식을 모두 세워 u=-10, v=14를 얻었다면, 마지막에 ((6-10)/2, (-4+14)/2)=(-2,5)로 중점을 다시 확인한다.
이처럼 조건이 표·그래프·문장 중 어느 형태로 제시되어도 네 좌표를 빠뜨리지 않고 중점의 두 좌표식으로 바꾸는지가 이 유형을 혼자 적용할 수 있는 기준이다.