풍무동고3수학과외

조건을 읽고 곱셈의 구조를 세우는 확률 풀이

풍무동의 풍무고등학교 고3 학생은 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에 확률 문제를 다시 풀었다. 같은 김포시의 사우고등학교, 김포제일고등학교, 장기고등학교, 솔터고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 학교별 출제 경향은 임의로 판단하지 않았다.

조건부확률을 먼저 확인해야 하는 이유

상자에 빨간 공 5개와 파란 공 3개가 들어 있다. 공을 한 개 꺼내 확인하지 않고 다시 넣은 뒤 두 번째 공을 꺼낼 때, 첫 번째와 두 번째가 모두 빨간 공일 확률을 구해 보자.

학생은 계산을 시작하며 다음과 같이 적었다.

P(A∩B)=P(A)P(B)

이 식은 이 문제에서는 우연히 맞지만, 독립인지 확인하지 않은 채 곱셈정리를 적용한 것이므로 풀이 과정으로는 부족하다. 사건 A를 첫 번째 공이 빨간 공인 사건, 사건 B를 두 번째 공이 빨간 공인 사건이라 하면, 복원추출이므로 두 사건은 독립이다.

따라서

P(A∩B)=P(A)P(B)=⁵/₈×⁵/₈=²⁵/₆₄

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ‘두 번째 추출의 확률이 첫 번째 결과에 영향을 받는가?’를 확인했다. 공을 다시 넣는 조건 때문에 영향이 없다는 사실을 확인하고 독립성을 근거로 식을 수정했다. 마지막에는 가능한 결과 64가지 중 빨강-빨강에 해당하는 경우가 25가지라는 방식으로 역검산했다.

복원 여부가 바뀌면 식도 달라진다

이번에는 같은 상자에서 공을 한 개 꺼낸 뒤 넣지 않고 두 번째 공을 꺼내는 문제로 조건을 바꾸었다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률은 첫 번째 빨간 공이 나온 뒤 남은 빨간 공 4개와 전체 7개를 사용해야 하므로

P(A∩B)=P(A)P(B|A)=⁵/₈×⁴/₇=⁵/₁₄

이때 P(B|A)=P(B)라고 쓸 수 없다. 첫 번째 공을 넣지 않았기 때문에 두 번째 빨간 공의 확률이 ⁵/₈에서 ⁴/₇로 바뀌었기 때문이다. 학생은 해설을 보지 않고 두 조건을 비교해 독립이 아닌 경우에는 조건부확률을 포함해야 한다는 결론을 스스로 확인했다.

배반과 독립을 혼동하지 않기

주사위 한 개를 던져 A를 ‘짝수가 나오는 사건’, B를 ‘3의 배수가 나오는 사건’이라 하자. 두 사건은 함께 일어날 수 있으므로 배반사건이 아니다.

P(A)=³/₆, P(B)=²/₆, P(A∩B)=¹/₆

또한 P(A)P(B)=¹/₆이므로 A와 B는 독립이다. 학생은 ‘서로 다른 조건이면 배반’이라고 판단하지 않고, 교집합이 공집합인지와 곱셈 관계가 성립하는지를 각각 점검했다.