장기동고2수학과외

장기동고2수학과외에서 확인한 외접원 반지름 식의 변형 오류

장기고등학교와 운유고등학교처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 뒤 확보되는 시간이 달라질 수 있지만, 이 문제에서는 풀이 시간보다 식을 변형할 때 어떤 조건을 다시 세우는지가 더 중요했다. 사인법칙과 코사인법칙을 알고 있어도 외접원 반지름이 계수와 함께 바뀌면 대응 관계를 놓치는 장면이 나타났다.

a=2Rsin A에서 계수 하나가 바뀐 순간

삼각형에서 변 a와 마주 보는 각이 A일 때 사인법칙의 외접원 반지름 표현은

a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R

이다. 따라서 a=2Rsin A가 성립한다. 예를 들어 A=30°, a=6이면

6=2R·sin30°=2R·1/2=R

이므로 R=6이다.

그런데 답안에는 a=Rsin A라고 적혀 있어 6=R·1/2, R=12가 나왔다. 이는 계산 실수가 아니라 사인법칙에서 공통비가 2R이라는 조건을 R로 바꾼 오류다. 반지름은 양수이고, 변과 그 대각의 대응도 a↔A로 유지되어야 한다.

식을 고치기 전에 삼각형의 조건을 옆에 남기기

변형된 문항을 풀 때는 문제의 식만 바로 계산하지 않고 다음 세 줄을 먼저 적는다.

A+B+C=180°
a,b,c>0
a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R

그 뒤 문제에서 주어진 대응값을 대입한다. 예를 들어 B=45°, b=8이라면

8/sin45°=2R
8/(√2/2)=2R
4√2=2R
R=2√2

가 된다. b=2Rsin45°=R√2로 직접 확인해도 8=R√2, 즉 R=4√2가 되어야 하므로 위 계산을 다시 점검하면 첫 줄의 비례식 정리가 필요하다. 정확히는

8/sin45°=8/(√2/2)=8√2=2R, 따라서 R=4√2이다.

이처럼 중간식을 남기면 계수와 유리화 과정에서 생긴 오류까지 확인할 수 있다.

각과 변의 대응을 바꾼 식에서 다시 세우기

새 문항에서는 c=10, C=60°가 주어졌다고 하자. 그림을 보지 않고도 먼저

c/sin C=2R

를 세워야 한다. 그러면

10/(√3/2)=2R
20/√3=2R
R=10/√3=10√3/3

이다. c=2Rsin60°에 대입하면 2·(10√3/3)·(√3/2)=10으로 원래 변이 되돌아온다. 이 역검산까지 해야 새로운 계수와 각으로 바뀐 문제에서도 같은 누락이 반복되지 않았다고 판단할 수 있다.

장기역 생활권에서 이동 시간이 다른 학생이라도 이 단원에서 남겨야 할 흔적은 같다. 외접원 반지름 문제의 답안에는 대응하는 변과 각, 삼각형의 각 조건, 공통비 2R, 마지막 역검산이 함께 있어야 한다. 그래프가 아닌 식으로 제시된 문항에서도 이 네 가지를 처음부터 다시 세우는지가 풀이의 안정성을 가른다.