장기동 고3 수학과외: 조건이 바뀌면 분모부터 다시 세우기
장기동의 장기고등학교와 운유고등학교처럼 학교와 주거지의 거리가 다른 환경에서는 장기역을 이용하는지, 통학 후 확보되는 자습 시간이 얼마나 되는지에 따라 풀이 점검 방식도 달라질 수 있다. 이 학생은 이동 시간이 짧은 날에는 표를 직접 다시 만들며 조건부확률의 분모를 확인하는 연습을 진행했다.
표의 범위가 바뀌었는데 이전 분모를 사용한 풀이
어떤 시험의 점수 X가 정규분포 N(70, 102)을 따른다고 하자. 처음 조건이 A: 60≤X≤90일 때, B: X≥80일 확률을 구하면
- 표준화: 60≤X≤90 → -1≤Z≤2
- B∩A: 80≤X≤90 → 1≤Z≤2
- P(B|A) = P(1≤Z≤2) / P(-1≤Z≤2)
그런데 문제의 조건이 A에서 A′: 70≤X≤90으로 바뀌었다. 학생은 이전 분모를 그대로 두고 다음과 같이 작성했다.
학생의 오답: P(B|A′) = P(80≤X≤90) / P(60≤X≤90)
이 식은 틀렸다. 조건부확률의 분모는 전체 범위가 아니라 새 조건사건 A′의 확률이어야 한다. 또한 A′ 안에서는 X가 70보다 작을 수 없으므로 60≤X<70인 후보를 표에 남겨 두면 안 된다.
변수 범위를 먼저 고친 뒤 계산하기
학생은 틀린 분모에 표시한 다음, 표의 첫 줄에 변수 범위를 다시 적었다.
- 새 조건사건: A′={70≤X≤90}
- 구하려는 사건과의 교집합: B∩A′={80≤X≤90}
- 70≤X≤90 → 0≤Z≤2
- 80≤X≤90 → 1≤Z≤2
따라서 정확한 식은
P(B|A′) = P(1≤Z≤2) / P(0≤Z≤2)
표준정규분포표에서 Φ(2)=0.9772, Φ(1)=0.8413, Φ(0)=0.5이므로
P(B|A′) = (0.9772-0.8413)/(0.9772-0.5) = 0.1359/0.4772 ≈ 0.285
계산 후에는 표준화 값을 원자료로 되돌렸다. Z=0은 X=70, Z=1은 X=80, Z=2는 X=90이므로 분자와 분모의 구간이 각각 80≤X≤90, 70≤X≤90과 일치한다. 또 B가 A′의 일부이므로 조건부확률이 0과 1 사이에 있다는 점도 확인했다.
독립이라고 단정하지 않고 조건을 바꿔 검증하기
이번에는 X가 정규분포 N(75, 82)이고, C={67≤X≤83}, D={X≥79}라고 하자. D가 C 안에 모두 포함되는 사건은 아니므로 독립이라고 볼 수 없으며, 새 조건 C를 기준으로 다시 계산해야 한다.
- 67≤X≤83 → -1≤Z≤1
- 79≤X≤83 → 0.5≤Z≤1
- P(D|C) = P(0.5≤Z≤1) / P(-1≤Z≤1)
Φ(1)=0.8413, Φ(0.5)=0.6915, Φ(-1)=0.1587이므로
P(D|C) = (0.8413-0.6915)/(0.8413-0.1587) = 0.1498/0.6826 ≈ 0.219
학생은 처음 문제의 분모를 복사하지 않고, 조건사건의 경계값이 바뀔 때마다 표의 범위와 표준화 구간을 함께 지우고 새로 적었다. 이 과정을 통해 조건부확률에서는 사건의 이름보다 현재 조건에 포함되는 표본공간을 먼저 확정해야 한다는 점을 익혔다.