장기동고1수학과외, 두 점까지의 거리를 같게 만드는 식
장기고등학교나 운유고등학교의 학교 프린트를 정리할 때, 좌표 문제의 계산은 이어 가면서도 조건을 식으로 옮기는 한 줄을 빠뜨리는 경우가 있다. 장기역 주변에서 귀가한 뒤 확보되는 시간이 학생마다 다르더라도, 이 유형에서는 풀이의 첫 판단을 기록하는 습관이 필요하다.
계산보다 먼저 적어야 할 거리 조건
두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)에서 같은 거리에 있는 점을 P(x, y)라고 하자. 조건은 말로만 “같은 거리”라고 두지 않고 다음처럼 식으로 세운다.
PA = PB
거리의 제곱을 사용하면 제곱근을 바로 계산하지 않아도 되므로
(x - x1)2 + (y - y1)2 = (x - x2)2 + (y - y2)2
가 된다. 이 식을 정리한 결과는 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식이다.
빠진 한 줄이 실제 오답으로 이어진 장면
학교 문제에서 A(1, 4), B(5, 2)에서 같은 거리에 있는 점의 자취를 구하게 했다. 학생의 답안에는 곧바로 전개한 식만 남아 있었다.
(x - 1)2 + (y - 4)2 = (x - 5)2 + (y - 2)2를 정리하면 …
계산식 자체는 맞지만, 그 앞에 “점 P(x, y)가 두 점에서 같은 거리에 있으므로 PA = PB”라는 조건 표시가 없다. 이 단계가 빠지면 좌표의 순서를 바꾸거나 한 점의 좌표만 대입하는 오류가 생겼을 때 어느 부분에서 잘못되었는지 추적하기 어렵다.
조건을 세운 뒤 문자 부분을 묶어 정리하기
위 식을 전개하면
x2 - 2x + 1 + y2 - 8y + 16 = x2 - 10x + 25 + y2 - 4y + 4
양변에서 x2과 y2을 없애고 정리하면
8x - 4y - 12 = 0
즉 2x - y - 3 = 0이다. 학생이 다시 쓸 때는 빠진 위치에 먼저 PA = PB를 넣고, 이어서 거리의 제곱식을 적는다. 숫자 모양을 보고 항을 묶는 것이 아니라 x가 포함된 항끼리, y가 포함된 항끼리 모아야 한다. 예를 들어 8x와 -4y는 모두 문자가 있지만 문자 부분이 다르므로 동류항이 아니다.
식이 정말 두 거리의 차이를 없애는지 확인하기
정리된 직선 위의 점으로 P(2, 1)을 대입하면 2×2 - 1 - 3 = 0이므로 조건을 만족한다. 실제 거리도 확인하면
PA2 = (2-1)2 + (1-4)2 = 10
PB2 = (2-5)2 + (1-2)2 = 10
두 값이 같아 식의 결과와 거리 조건이 일치한다. 이처럼 마지막에 임의의 점 하나를 대입하면 계산 결과만 맞춘 것인지, 처음 조건을 보존했는지 구별할 수 있다.
조건이 하나 늘어난 문제에서 확인할 풀이
변형 문제에서는 A(1, 4), B(5, 2)에서 같은 거리에 있고 동시에 x + y = 3을 만족하는 점을 구한다고 하자. 먼저 거리 조건에서 얻은 2x - y - 3 = 0과 추가 조건을 함께 사용한다.
y = 3 - x를 첫 식에 대입하면
2x - (3 - x) - 3 = 0
3x - 6 = 0
x = 2, y = 1
확인할 때는 학생이 숫자를 보고 항을 임의로 합쳤는지가 아니라, x항은 x항끼리, 상수항은 상수항끼리 정리했는지를 말로 설명하게 한다. 같은 거리 조건을 빠뜨리지 않고 추가 조건까지 연결해 (2, 1)을 얻으면, 이전에 생략하던 첫 식을 새로운 문제에서도 스스로 세운 것으로 판단한다.