운양동 고2수학과외: 외접원 반지름 공식의 계수를 계산 줄에서 확인하기
운양동에는 운양고등학교와 김포제일고등학교가 있고, 학교별 지필평가 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 서로 다를 수 있다. 사인법칙과 코사인법칙을 공부할 때는 진도량보다 풀이 한 줄에서 공식의 구조를 보존하는지가 중요하다.
6=2Rsin30°에서 사라진 2
다음 삼각형에서 외접원의 반지름을 구한다고 하자.
조건: 변 a=6, 그 맞은편 각 A=30°
사인법칙의 외접원 반지름 형태는
a/sin A=2R, 따라서 a=2R sin A
이다. 조건을 대입하면
6=2R sin30°=2R×1/2=R
이므로 R=6이다.
그런데 풀이 여백에는 다음과 같이 적혀 있었다.
6=R sin30°=R×1/2
R=12
이 계산의 첫 오류는 6=R sin30°라는 줄이다. 공식의 2R을 R로 바꾸었기 때문에 이후의 R=12도 잘못된다. 각의 값이나 사인값을 틀린 것이 아니라, 외접원 반지름 공식의 계수를 보존하지 못한 오류다.
조건·계산·검산을 나누어 처음 틀린 줄 찾기
풀이를 다시 쓸 때 모든 과정을 한꺼번에 지우지 않고 세 칸으로 나눈다.
- 조건:
a=6, A=30° - 계산:
a=2R sin A→6=2R×1/2=R - 검산:
a=2R sin A=2×6×1/2=6
이렇게 쓰면 조건은 맞고 계산에서 계수 2가 빠졌다는 사실이 드러난다. 계산 칸만 다시 작성하는 방식으로 공식 선택과 대입 과정을 분리한다. 코사인법칙이 필요한 문제인지도 먼저 확인해야 한다. 세 변과 끼인각의 관계를 구하는 상황은 a²=b²+c²-2bc cos A를 사용하지만, 외접원 반지름을 구하는 현재 조건에는 a=2R sin A가 직접 연결된다.
부분 풀이에서 첫 오류를 추적하는 검증
이번에는 다음 풀이의 첫 번째 오류를 표시한다.
문제: b=10, B=45°인 삼각형의 외접원 반지름 R을 구하여라.
b=2R sin B
10=2R sin45°
10=2R×√2/2
10=R√2
R=5√2
위 풀이는 모든 줄이 옳다. 실제 검산도
2×5√2×√2/2=10
으로 조건을 만족한다.
다음처럼 일부를 바꾼 풀이에서는 처음 잘못된 줄을 찾아야 한다.
b=2R sin B
10=2R sin45°
10=2R×√2/2
10=R√2
R=10√2
오류는 마지막 줄이다. 10=R√2에서 양변을 √2로 나누면
R=10/√2=5√2
가 되어야 한다. 공식의 계수를 지킨 뒤에도 마지막 나눗셈을 검산식으로 확인해야 하며, 이때 R=10√2를 대입하면 변의 길이가 20이 되어 조건 b=10과 맞지 않는다.