운양동 고3수학과외: 조건부확률에서 표본공간을 다시 정하는 순간
운양동의 운양고등학교와 김포제일고등학교 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 조건부확률 문제를 짧은 단위로 점검할 필요가 있다. 다음 사례의 핵심은 계산 속도가 아니라 조건이 붙은 뒤 사건의 범위가 어떻게 달라지는지 확인하는 데 있다.
조건이 붙으면 분모부터 새로 확인한다
한 학급의 학생 30명 중 수학 문제집을 푼 학생은 18명, 영어 문제집을 푼 학생은 20명, 두 문제집을 모두 푼 학생은 12명이다. 수학 문제집을 푼 학생 중 임의로 한 명을 골랐을 때, 영어 문제집도 푼 학생일 확률을 구하면 조건부확률의 정의에 따라
P(영어 | 수학) = P(영어∩수학) ÷ P(수학) = (12/30) ÷ (18/30) = 12/18 = 2/3
이다. 여기서 조건은 ‘수학 문제집을 푼 학생’이므로 새 표본공간은 30명이 아니라 18명이다. 따라서 분모는 전체 학생 수가 아니라 수학 문제집을 푼 학생 수가 되어야 한다.
학생의 오답은 마지막 부호 문제가 아니었다
학생은 다음 날 같은 문제를 다시 풀면서 앞부분의 교집합 계산은 그대로 두고 마지막에 부호만 바꾸었다.
오답: P(영어 | 수학) = P(영어∩수학) - P(수학) = 12/30 - 18/30 = -1/5
이 식은 틀렸다. 조건부확률은 두 확률의 차를 구하는 연산이 아니며, 확률이 음수가 된 것 자체가 계산 구조가 잘못되었다는 신호다. 특히 학생은 조건인 수학 문제집을 푼 학생 18명을 새 표본공간으로 잡지 않고 전체 30명을 계속 분모에 사용했다. 조건부확률은
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)
이므로, 이 문제에서는 P(영어∩수학) ÷ P(수학)으로 고쳐야 한다.
틀린 줄을 표시하고 역으로 확인하기
- 틀린 줄 표시: 학생의 답안에서 ‘− P(수학)’ 부분에 선을 긋고, 조건부확률의 나눗셈 기호가 빠졌음을 표시한다.
- 조건 확인: “수학 문제집을 푼 학생 중에서 고른다”는 문장을 수직선의 기준 집합처럼 적고, 표본공간을 18명으로 제한한다.
- 식 수정: 교집합 학생 12명을 조건 집합 18명으로 나누어 12/18=2/3으로 다시 계산한다.
- 대입 검산: P(영어∩수학)=P(영어|수학)P(수학)에 대입하면 (2/3)×(18/30)=12/30이므로 원래 교집합 확률과 일치한다.
- 확률 범위 검산: 조건부확률은 0 이상 1 이하인 2/3이므로 음수인 오답보다 조건에 맞는다.
이 과정을 통해 맞았던 교집합 계산과 틀렸던 조건부 계산을 분리한다. 마지막 부호만 고치는 것이 아니라, 조건이 정하는 새 표본공간과 연산 자체를 첫 줄부터 다시 세워야 한다.
새 조건에서 절차가 유지되는지 확인
검증 문제에서는 숫자를 바꾼다. 상자에 빨간 공 9개와 파란 공 6개가 있고, 빨간 공 중 3개에는 별표가 있다. 별표가 있는 공을 뽑았다는 조건에서 그 공이 빨간 공일 확률을 구하라.
이번에는 조건 사건을 B=별표가 있는 공, 구하려는 사건을 A=빨간 공으로 둔다. 별표가 있는 공이 모두 빨간 공 3개라면
P(A|B)=P(A∩B)÷P(B)=3/3=1
이다. 이때 분모를 전체 공 15개로 두어 3/15라고 하면 조건부확률이 아니라 전체 공 중 별표 빨간 공을 뽑을 확률이 된다. 새 문제에서도 먼저 B를 표본공간으로 정하고, 그 안에서 A에 해당하는 경우를 세는 절차가 유지되어야 한다.
운양동 고3수학과외 학습에서는 학교별 범위가 달라도 조건부확률의 핵심을 ‘조건이 붙은 뒤 남는 경우의 집합’으로 고정해 두면, 숫자와 사건 이름이 바뀐 문제에서도 같은 오류를 반복하지 않을 수 있다.