운양동고1수학과외: 미지 좌표가 있는 거리조건을 방정식으로 바꾸기
운양고등학교나 김포제일고등학교의 학교 프린트에서는 “두 점 사이의 거리가 10이다”처럼 문장으로 조건이 제시된 뒤 미지 좌표를 구하게 하는 문제가 나올 수 있다. 이때 공식만 바로 쓰면 좌표의 차이와 조건을 빠뜨리기 쉽다. 평일 귀가 후 짧은 시간에 문제를 풀 때일수록 계산보다 먼저 거리조건을 식으로 번역하는 과정이 필요하다.
계산보다 먼저 좌표의 차이를 식으로 옮긴다
점 A(1, -2), 점 B(x, 4)의 거리가 10이라고 하자. 두 점의 가로 좌표 차이는 x-1이고 세로 좌표 차이는 4-(-2)=6이다. 따라서 거리공식은 다음처럼 적용된다.
(x-1)²+6²=10²
이를 정리하면
(x-1)²+36=100
(x-1)²=64
x-1=±8
그러므로 x=9 또는 x=-7이다. 미지 좌표가 하나뿐이어도 제곱이 포함되므로 두 값이 생길 수 있다는 점까지 조건에 포함해야 한다.
최근에 풀었던 식을 그대로 옮긴 순간 생긴 오류
관찰된 답안에서는 풀이 시작 전에 거리조건을 한 줄로 적지 않고 곧바로 계산을 시작했다. 학생은 세로 좌표 차이 6은 사용했지만 가로 좌표 차이를 x-1이 아니라 x로 적어 다음과 같이 진행했다.
(학생의 오답식) x²+6²=10² → x²=64 → x=8
이 식은 점 A의 가로 좌표가 1이라는 정보를 없애 버린 것이다. 실제로 x=8이면 점 B는 (8, 4)이고, A와의 거리는 √((8-1)²+6²)=√85이므로 10이 아니다. 거리조건을 방정식으로 바꾸는 판단이 빠졌기 때문에 계산 과정 전체가 다른 문제를 푼 셈이 되었다.
풀이 앞뒤에 같은 판단을 남기는 방식
이 유형에서는 종이에 먼저 “미지 좌표가 포함된 거리조건을 방정식으로 만들기”라고 적는다. 그 아래에 두 점의 좌표 차이를 각각 표시한다.
- 가로 차이: x-1
- 세로 차이: 4-(-2)=6
- 거리조건: (x-1)²+6²=10²
계산을 끝낸 뒤에도 같은 문장을 다시 확인하고, 구한 값을 원래 거리식에 넣는다.
x=9일 때는 (9-1)²+6²=64+36=100이고, x=-7일 때는 (-7-1)²+6²=64+36=100이다. 두 값 모두 거리 10을 만족하므로 하나를 임의로 버리면 안 된다. 이처럼 풀이 전에는 문장을 식으로 바꿀 준비를 확인하고, 풀이 후에는 그 식이 원래 조건을 보존했는지 확인한다.
표현이 달라도 같은 거리조건을 찾는 연습
학교 문제집에 “점 P(t, 2)와 점 Q(3, -1) 사이의 간격이 5”라고 쓰여 있고, 다른 프린트에는 “P에서 Q까지의 선분 길이는 5”라고 쓰여 있어도 같은 조건이다. 두 좌표의 차이는 t-3과 2-(-1)=3이므로
(t-3)²+3²=5²
이다. 따라서 (t-3)²=16, t-3=±4에서 t=7 또는 t=-1을 얻는다. 문장의 표현이나 좌표 순서가 달라져도 ‘두 좌표 차이의 제곱의 합이 거리의 제곱’이라는 관계를 찾아야 한다.
불필요한 정보가 섞인 새 문제에서 확인하기
변형 문제로 “점 R(a, 5)는 x축 위의 점 S와 거리가 13이고, 교실 게시판의 가로 길이는 120cm이다”라는 조건을 제시할 수 있다. 여기서 게시판의 길이는 좌표와 거리 계산에 사용되지 않는 정보다. S가 (5, 0)이라면 세로 좌표 차이는 5이고, 거리조건은
(a-5)²+5²=13²
이다. 따라서 (a-5)²=144, a-5=±12이므로 a=17 또는 a=-7이다.
학생이 문제의 표현이 바뀌고 불필요한 수치가 추가되어도 먼저 거리조건을 표시하고, 좌표 차이를 적은 뒤, 마지막에 두 해를 원래 식에 대입한다면 미지 좌표를 방정식으로 만드는 판단을 혼자 재현한 것으로 볼 수 있다.