양촌읍고2수학과외: 변과 마주 보는 각을 확인해야 외접원 반지름이 보인다
양촌읍에서 양곡고등학교를 오가는 일정에 과제와 지필평가 준비가 겹치면, 풀이를 빨리 끝내려다 공식의 기호를 생략하기 쉽다. 특히 사인법칙에서 외접원 반지름을 구할 때는 숫자 계산보다 먼저 ‘어떤 변이 어떤 각의 맞은편인가’를 표시해야 한다.
변 a와 각 A의 대응부터 적기
삼각형에서 변 a가 각 A의 맞은편에 있다면 사인법칙은 다음과 같다.
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
여기서 R은 삼각형의 외접원 반지름이다. 따라서 한 변과 그 맞은편 각이 주어졌을 때는
R = a/(2sin A)
로 계산한다. 삼각형의 내각은 0°보다 크고 180°보다 작으며, 세 각의 합은 180°이다. 그러므로 주어진 변과 각이 실제 삼각형의 대응 관계를 이루는지도 확인해야 한다.
“a=2R sin A”에서 2를 빠뜨린 풀이
예를 들어 A=30°, a=4인 삼각형의 외접원 반지름을 구해 보자. 변 a와 각 A가 서로 마주 보는 대응이라는 표시를 먼저 남기면
a = 2Rsin A
4 = 2R · sin30° = 2R · 1/2 = R
따라서 R=4이다.
그런데 답안에 a=Rsin A라고 적으면 4=R·1/2이 되어 R=8이라는 잘못된 값이 나온다. 이때 오류는 계산 실수가 아니라 사인법칙의 오른쪽이 2R이라는 관계를 R로 바꾼 데 있다.
정답을 지우고 전부 다시 쓰기보다, 먼저 “외접원 지름이 2R이므로 계수 2를 빠뜨렸다”라고 한 문장으로 적는다. 그다음 잘못된 단계만 a=2Rsin A로 고쳐 계산한다. 또한 답안 중간에 a↔A를 표시하면 변과 각의 대응이 사라지지 않는다.
코사인법칙으로 구한 변에도 대응을 붙인다
두 변과 그 끼인각이 주어진 경우에는 코사인법칙을 먼저 사용할 수 있다.
a²=b²+c²-2bc cos A
예를 들어 b=5, c=7, A=60°이면
a²=25+49-2·5·7·1/2=39
a=√39
이제 a는 A의 맞은편 변이므로 외접원 반지름은
R = √39/(2sin60°) = √39/√3 = √13
처럼 연결된다. 코사인법칙에서 구한 변을 다른 각과 임의로 짝짓지 않아야 하며, 사인법칙을 적용할 때도 마지막에 다시 대응을 확인해야 한다.
새로운 각 후보가 생겼을 때 삼각형 범위를 검사하기
변형 문제로 A=60°, a=6, b=6√3인 삼각형에서 B를 구한다고 하자.
a/sin A=b/sin B이므로
6/(√3/2)=6√3/sin B
sin B=1
따라서 B=90°이고, C=30°이다. 각의 합을 확인하면 실제 삼각형의 조건을 만족한다.
반대로 계산 과정에서 sin B=1/2가 나와 B=30° 또는 150°를 얻었다면 두 후보를 모두 답으로 쓰면 안 된다. A=60°일 때 B=150°이면 A+B=210°가 되어 C가 음수가 되므로 정의역, 즉 삼각형의 내각 범위 밖이다. 마지막에는 각의 합과 각의 양수 여부를 검사해 허용되지 않는 후보를 제거해야 한다.
이처럼 외접원 반지름 문제의 답안에는 변·각 대응 표시 → 2R 공식 확인 → 계산 → 각의 범위와 삼각형 성립 여부 검산이 남아 있어야 한다. 양곡고등학교 외에도 김포시의 사우고등학교, 김포제일고등학교, 풍무고등학교, 장기고등학교가 참고 학교로 구분되지만, 학교별 시험을 단정하기보다 통학과 과제가 겹치는 상황에서도 이 네 가지 판단을 풀이에 고정하는 것이 중요하다.