양촌읍 고3수학과외: 조건사건 안에서 다시 세는 조건부확률
양촌읍에서 양곡고등학교로 통학하며 과제와 시험을 함께 준비하는 고3 학생의 답안에서 조건부확률의 핵심 오류가 확인됐다. 사우고등학교, 김포제일고등학교 등은 같은 김포시 내 참고 학교이며 양촌읍 소재 학교와는 구분해 학습 상황을 살폈다.
조건을 표본공간으로 바꾸지 못한 오답
학생은 집합 \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)에서 임의로 한 수를 고르는 문제를 풀었다.
- \(A\): 짝수를 고르는 사건
- \(B\): 3보다 큰 수를 고르는 사건
따라서 \(A=\{2,4,6,8\}\), \(B=\{4,5,6,7,8\}\)이고, \(A\cap B=\{4,6,8\}\)이다. 학생은 답안에 다음과 같이 적었다.
\(P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}=\dfrac{4/8}{5/8}=\dfrac45\)
이 식은 틀렸다. \(B\)라는 조건이 붙으면 전체 표본공간 \(U\)가 아니라 \(B\) 안에서만 \(A\)가 일어나는 비율을 구해야 한다. 그러므로 분자는 \(A\) 전체가 아니라 \(A\cap B\)의 확률이어야 한다.
정확한 식은
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} =\dfrac{3/8}{5/8}=\dfrac35\)
이다. 실제로 \(B\) 안의 다섯 수 \(\{4,5,6,7,8\}\) 중 짝수는 세 개이므로 \(\frac35\)가 답과 일치한다. \(A\)와 \(B\)가 독립이라는 조건도 없으므로 \(P(A|B)=P(A)\)로 바꿀 수도 없다.
오류 줄을 지우지 않고 수정하는 과정
학생은 답안에서 \(\frac{P(A)}{P(B)}\)라고 쓴 줄에 표시한 뒤, 먼저 조건사건 \(B\)를 새로운 표본공간으로 적었다. 그다음 \(B\)의 원소를 나열하고 \(A\)와 겹치는 원소만 남겼다.
- 조건 표본공간: \(B=\{4,5,6,7,8\}\)
- 조건 안에서 허용되는 사건: \(A\cap B=\{4,6,8\}\)
- 수정한 비율: \(\dfrac{|A\cap B|}{|B|}=\dfrac35\)
이후 확률식으로 역검산했다. \(P(B)=\frac58\)에 \(P(A|B)=\frac35\)를 곱하면 \(\frac58\times\frac35=\frac38=P(A\cap B)\)가 되므로 교집합 확률도 일치한다. 답안 여백에 조건사건을 별도 표본공간으로 표시하는 습관을 남겨, 계산보다 사건 사이의 관계를 먼저 확인하도록 교정했다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 숫자와 조건을 바꾸어 \(1\)부터 \(10\)까지의 수 중 하나를 고르는 문제를 제시했다.
- \(C\): 3의 배수인 사건
- \(D\): 5보다 큰 수인 사건
\(C=\{3,6,9\}\), \(D=\{6,7,8,9,10\}\)이므로 \(C\cap D=\{6,9\}\)이다. 학생은 첫 줄에 조건사건을 기준으로
\(P(C|D)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} =\dfrac{2/10}{5/10}=\dfrac25\)
라고 적었다. \(D\) 안의 다섯 수 중 3의 배수가 두 개라는 직접 확인과도 맞고, \(\frac25\times\frac12=\frac15=P(C\cap D)\)인 역검산도 성립한다.