양촌읍고1수학과외, 접점과 중심을 표시해 좌표도형 넓이 나누기
양곡고등학교 통학과 학교 과제가 함께 늘어나는 시기에는 좌표도형 문제를 식만 세워 빠르게 처리하려는 풀이가 자주 나타난다. 그러나 접점과 중심의 위치를 그림에 표시하지 않으면 어떤 선분을 기준으로 넓이를 나눌지 놓치기 쉽다. 이 유형에서는 계산보다 먼저 좌표와 조건을 도형으로 연결해야 한다.
접점 T를 표시하면 넓이의 분할 기준이 보인다
원 O의 중심이 O(1, 2)이고 반지름이 2이며, 직선 y=4가 원에 접한다고 하자. 중심에서 접점까지의 선분은 접선에 수직이므로 접점은 T(1, 4)이다.
직선 위에 A(-3, 4), B(5, 4)를 잡고 삼각형 AOB의 넓이를 구하면, 접점 T가 밑변 AB를 나누는 위치에 놓인다.
학생의 답안에는 접점 T나 선분 OT를 표시하지 않은 채, 곧바로 연립식과 거리 계산이 이어져 있었다.
이때 좌표를 확인하면
AT=1-(-3)=4, TB=5-1=4이고, O의 y좌표와 직선 y=4의 차이는 4-2=2이다. 따라서 삼각형 AOT와 BOT로 나누어 각각 계산할 수 있다.
두 작은 삼각형의 넓이를 실제로 계산하기
삼각형 AOT의 밑변을 AT로 잡으면 밑변의 길이는 4, 높이는 O에서 직선 y=4까지의 거리인 2이다.
[AOT]=1/2×4×2=4
같은 방식으로
[BOT]=1/2×4×2=4
선분 OT가 삼각형 AOB 내부에서 두 부분을 나누므로 전체 넓이는
[AOB]=[AOT]+[BOT]=4+4=8
학생이 접점의 좌표만 구한 뒤 넓이를 다시 8이라고 적었다면 답 자체는 맞을 수 있지만, 왜 두 삼각형으로 나뉘는지 설명하지 못한 상태다. 좌표도형에서 필요한 것은 숫자의 재기입이 아니라 어떤 선분이 어떤 넓이를 분할하는가를 확인하는 과정이다.
연립 계산 전에 그림에 남겨야 할 세 가지 관계
- 원의 중심 O와 접점 T를 선분 OT로 연결한다.
- 접선과 반지름이 수직이라는 관계를 표시한다.
- 넓이를 나눌 선분을 정하고, 각 부분의 밑변과 높이를 좌표 차이로 읽는다.
이 문제에서는 OT의 기울기가 정의되지 않는 상황이 아니며, 실제로 OT는 수직선분이다. 접선 y=4와 수직인 선분이므로 O(1,2)에서 위로 2만큼 이동한 T(1,4)가 나온다. 이후에는 복잡한 연립방정식보다 수평거리와 수직거리를 이용하는 편이 직접적이다.
양촌의 짧은 학습 시간에도 풀이 흔적을 남기는 방법
양촌읍에서 양곡고등학교 과제와 이동 시간을 함께 관리해야 하는 날에는 한 문제를 길게 붙잡기보다, 학교 프린트의 좌표 그림 옆에 중심, 접점, 분할선만 먼저 표시하는 훈련이 효과적이다. 양촌현대아파트 등 생활권에서 귀가한 뒤 풀이 시간이 짧더라도 이 세 표시를 한 다음 계산으로 넘어가면, 정답만 다시 적는 습관과 구별되는 풀이 흔적이 남는다.
순서를 바꾼 문제에서도 작도 이유를 설명하는가
검증에서는 같은 AOB 문제를 반복하지 않고 다음 조건을 제시한다. 원의 중심이 O(2, 3), 반지름이 3이고 접선이 y=6이다. 접선 위의 두 점을 C(-2,6), D(7,6)로 둔다. 문제에는 먼저 넓이를 구하라는 말 대신, “접선 위의 점과 중심을 이용해 삼각형 COD를 두 부분으로 나누어 설명하라”고 제시한다.
학생이 접점을 T(2,6)으로 정하고 CT=4, TD=5, 높이 6-3=3을 찾아
[COT]=1/2×4×3=6, [DOT]=1/2×5×3=15
이라고 설명하면 전체 넓이는 21이다. 수치가 바뀌고 문제의 요구 순서가 달라도 중심과 접점을 먼저 표시하고, 그 선분이 만드는 두 삼각형의 밑변과 높이를 스스로 정했다면 좌표를 이용한 분할이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았다고 판단할 수 있다.