사우동 고2수학과외: 세 변이 실제 삼각형을 이루는지부터 확인하는 사인법칙·코사인법칙
사우고등학교와 김포고등학교의 시험 범위, 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 삼각함수 문제를 풀이 순서까지 점검하는 연습이 필요하다. 특히 사인법칙과 코사인법칙은 식을 적용하는 것보다 주어진 변과 각이 실제 삼각형을 이루는지 판단하는 과정이 먼저다.
3, 4, 8을 삼각형의 세 변으로 바로 계산한 이유
세 변의 길이가 3, 4, 8이라고 하자. 이전 풀이를 따라 한 각을 구하려 하면 코사인법칙에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
잘못된 줄 cos A = (32 + 42 - 82) ÷ (2·3·4) = -13/8
하지만 cos A의 값은 -1 이상 1 이하이어야 한다. -13/8은 이 범위를 벗어나므로 각 A가 존재하지 않는다. 계산 실수가 아니라, 세 변 3, 4, 8이 삼각형을 만들 수 없다는 신호다.
삼각형의 세 변은 가장 긴 변을 기준으로
8 < 3 + 4
를 만족해야 한다. 실제로 8 < 7이 거짓이므로 이 세 길이로는 삼각형을 만들 수 없다.
바뀐 기호 하나를 표시하며 풀이 순서 고치기
답안에는 잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 놓는다. 이때 달라진 기호는 삼각형 조건에 맞는지 확인하는 부등호다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| 8 < 3 + 4 | 8 ≥ 3 + 4 |
수정한 줄은 8 ≥ 7이므로 삼각형 조건을 만족하지 않는다는 뜻이다. 따라서 이 문제의 결론은 각을 계산하는 것이 아니라 주어진 세 변으로 삼각형을 만들 수 없다는 것이다.
성립 가능한 조건에서는 코사인법칙을 적용한다
이번에는 두 변과 그 끼인각이 주어진 경우를 보자. b=3, c=4, A=60°라면 맞은편 변 a는
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
a2 = 32 + 42 - 2·3·4·cos 60°
a2 = 9 + 16 - 24·1/2 = 13
따라서 a = √13이다.
이때 √13은 3과 4의 차인 1보다 크고 합인 7보다 작으므로 나머지 두 변과 함께 삼각형을 이룰 수 있다. 코사인법칙을 적용한 뒤에도 변의 범위를 확인해야 계산 결과를 답으로 확정할 수 있다.
역계산으로 원래 조건 복원하기
새 조건으로 b=5, c=7, A=60°를 주고 a를 구해 보자.
a2 = 52 + 72 - 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 - 35 = 39
그러므로 a=√39이다. 이제 구한 값을 다시 코사인법칙에 넣으면
cos A = ((√39)2 + 52 - 72) ÷ (2·√39·5)
가 아니라, 각 A의 맞은편 변이 a이고 인접한 변이 b=5, c=7인 관계를 정확히 사용해야 한다. 즉
cos A = (b2 + c2 - a2) ÷ (2bc) = (25 + 49 - 39) ÷ 70 = 35/70 = 1/2
따라서 A=60°가 복원된다. 마지막 역계산에서 변과 마주 보는 각의 위치를 다시 확인했다면, 숫자만 맞는 풀이가 아니라 삼각형의 관계까지 유지된 풀이인지 판단할 수 있다.
사우동에서 고2 수학 학습을 진행할 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 시점을 고려하되, 코사인법칙 문제마다 삼각형 성립 여부 → 변과 각의 대응 → 공식 적용 → 역계산의 흔적을 답안에 남기는 것이 중요하다.