사우동고1수학과외: 좌표 삼각형의 세 변을 거리공식으로 연결하기
사우고등학교와 김포고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 풀이를 길게 적기보다, 좌표 문제에서 빠뜨린 판단을 정확히 표시하는 연습이 필요하다. 좌표로 주어진 삼각형의 둘레는 세 점 사이의 거리를 각각 구한 뒤 더해야 하며, 중간 계산이 맞았는지만으로 풀이를 끝낼 수 없다.
둘레를 구하기 전에 세 변을 선분으로 나눈다
삼각형의 꼭짓점이 A(1, 2), B(7, 5), C(4, 9)일 때 둘레를 구하려면 먼저 변을 세 쌍으로 나눈다.
- AB: A와 B 사이
- BC: B와 C 사이
- CA: C와 A 사이
두 점 (x1, y1), (x2, y2) 사이의 거리는 √{(x2−x1)²+(y2−y1)²}이다. 따라서
AB = √{(7−1)²+(5−2)²} = √(36+9) = 3√5
BC = √{(4−7)²+(9−5)²} = √(9+16) = 5
CA = √{(1−4)²+(2−9)²} = √(9+49) = √58
그러므로 삼각형 ABC의 둘레는 3√5 + 5 + √58이다. 세 변의 길이를 더했으므로 특정 변을 두 번 세거나 한 변을 빠뜨리지 않았다.
맞는 중간 계산 뒤에 사라진 확인
실제 답안에서는 AB와 BC를 계산한 뒤 바로 다음 식으로 넘어갔고, 여백에도 ‘좌표로 주어진 삼각형의 둘레를 거리공식으로 계산하기’라는 확인 흔적이 없었다. 이 경우 계산된 값 일부가 맞더라도 전체 풀이가 안정되었다고 보기 어렵다.
AB = 3√5, BC = 5, CA = √58까지 계산했다면, 세 변이 모두 포함되었는지 원래 삼각형의 꼭짓점 순서와 대조해야 한다.
오답을 고칠 때는 답만 고쳐 쓰지 않는다. 세 점을 연결해 만든 변의 목록 옆에 표시를 하고, 빠진 확인 단계가 시작되는 줄부터 다시 작성한다. 이 문제에서는 AB, BC, CA를 모두 적었는가를 먼저 확인한 뒤 각 거리공식을 대입한다.
거리공식의 제곱 안에서 좌표 차이를 검산한다
좌표 순서를 바꾸어 B−A 대신 A−B를 사용해도 제곱하므로 거리 자체는 같지만, 한 점의 x좌표와 다른 점의 y좌표를 섞으면 안 된다. 예를 들어 AB에서 (7−1)²+(5−2)²는 x좌표 차이와 y좌표 차이를 각각 짝지은 식이다. 또한 둘레는 좌표의 x값이나 y값을 단순히 더한 값이 아니라 세 거리의 합이다.
조건을 바꾼 도형에서 첫 판단을 확인한다
새 문제에서 점이 P(−2, 1), Q(3, 1), R(3, 7)로 바뀌었다고 하자. 이번에는 문제를 읽은 뒤 누구의 순서 안내도 받지 않고 먼저 세 변 PQ, QR, RP를 적는지 본다.
PQ = 5, QR = 6, RP = √{(−2−3)²+(1−7)²} = √61
따라서 둘레는 11 + √61이다. Q에서는 x좌표가 같아 세로 길이가 6이고, P와 Q에서는 y좌표가 같아 가로 길이가 5라는 점도 거리공식 결과와 일치한다.
표현이 달라져도 학생이 먼저 세 점에서 만들 수 있는 세 선분을 묶고, 각 선분에 거리공식을 적용한다면 같은 개념을 스스로 적용한 것이다. 반대로 한 변만 계산하거나 둘레와 넓이를 혼동한다면, 중간 계산보다 앞선 ‘세 변 확인’ 단계부터 다시 점검해야 한다.