사우동 고3 수학과외: 조건이 달라진 확률의 덧셈정리
사우동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 사우고등학교와 김포고등학교의 시험 범위, 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습 순서를 조정할 필요가 있다. 같은 김포시의 김포제일고등학교·풍무고등학교·장기고등학교는 참고 학교로 구분하되, 사우동 소재 학교로 단정하지 않았다. 이 학생은 귀가 후 확률 단원 오답을 정리하면서 표현만 바뀐 문제에도 앞 문제의 결론을 그대로 적용하는 습관을 보였다.
겹치는 사건을 먼저 확인한 풀이
전체 학생 40명 중 사건 A는 수학 문제집을 푼 학생, 사건 B는 영어 문제집을 푼 학생이다. P(A)=0.55, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2일 때 적어도 한 권을 푼 학생의 확률은
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=0.55+0.4-0.2=0.75
이다. 두 사건을 더하면 A와 B를 모두 만족하는 학생이 중복되므로 교집합을 한 번 빼야 한다. 학생은 표현이 “A가 아니거나 B가 아닌 경우”로 바뀌자 앞의 0.75를 그대로 옮겨 적었다.
오답: P(Ac∪Bc)=P(A∪B)=0.75
이 식은 틀렸다. 드모르간 법칙에 따라 Ac∪Bc=(A∩B)c이므로 정답은 1-P(A∩B)=1-0.2=0.8이다. 앞 문제의 합집합과 현재 문제의 여사건 구조가 다르다는 점을 놓친 것이다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 연결하기
- 틀린 줄 표시: P(Ac∪Bc)=P(A∪B)
- 관계 확인: “또는”의 대상이 A, B인지 Ac, Bc인지 확인하고 드모르간 법칙을 적용한다.
- 식 수정: Ac∪Bc=(A∩B)c로 바꾼다.
- 검산: 전체 1에서 두 문제집을 모두 푼 확률 0.2를 빼어 0.8을 얻고, 직접 덧셈정리를 쓰면 0.45+0.6-0.2=0.85가 아니라는 점도 확인한다. 실제로 P(Ac)=0.45, P(Bc)=0.6이며 교집합은 P((A∪B)c)가 아니라 P(A∩B)의 여사건 구조로 계산해야 한다.
이후 학생은 세 사건 문제에서 두 사건 공식만 반복하지 않고, 먼저 사건의 의미와 겹치는 영역을 표로 표시했다. 세 사건 C까지 포함해
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)
처럼 두 사건의 교집합은 빼고 세 사건의 공통 부분은 다시 더한다는 구조를 확인했다.
표본공간을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 주사위 한 개를 던진다. A={짝수}, B={3의 배수}라 하면 P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/6이므로
P(A∪B)=1/2+1/3-1/6=2/3
이다. 여기서는 P(A∩B)=P(A)P(B)이므로 독립이지만, 덧셈정리에서 교집합을 생략할 수 있다는 뜻은 아니다. 학생은 숫자와 표본공간이 바뀐 문제에서도 먼저 교집합을 구한 뒤 합집합을 계산하는 순서를 유지하며 풀이를 검증했다.