북변동 고2수학과외: 세 변을 먼저 검토해야 하는 사인법칙·코사인법칙 풀이
김포시 북변동에서 고2 수학을 공부할 때는 학교별 지필평가와 주간 학습 일정에 따라 풀이 점검 시간이 달라질 수 있다. 북변동 소재 학교로 확인되는 김포과학기술고등학교와 김포시 내 참고 학교인 사우고등학교·김포제일고등학교·풍무고등학교·장기고등학교를 하나의 출제 경향으로 묶기보다, 실제 답안에서 어떤 계산 줄을 남겼는지 확인하는 것이 중요하다.
3, 4, 8로 만든 삼각형은 존재하는가
오답표에는 다음과 같이 적혀 있었다.
“세 변의 길이가 3, 4, 8인 삼각형에서 각을 구한다.”
학생은 세 변을 대입해 코사인법칙을 적용했지만, 마지막에 나온 값을 고치는 데 집중했다.
변 3, 4가 이루는 각을 C라 하고 그 맞은편 변을 8이라고 하면
82 = 32 + 42 - 2·3·4 cos C
따라서
cos C = (32 + 42 - 82) ÷ (2·3·4) = (9+16-64) ÷ 24 = -39/24 = -13/8
그런데 cos C의 값은 -1 이상 1 이하이어야 하므로 -13/8은 각의 코사인값이 될 수 없다. 더 앞에서 확인해도 3+4=7<8이므로 삼각형 자체가 만들어지지 않는다. 이 경우 오류는 마지막 숫자가 아니라, 존재하지 않는 삼각형에 공식을 적용한 첫 단계에서 발생했다.
정답을 지우기 전, 오류가 시작된 줄을 표시하기
이 장면에서는 답 전체를 지우지 않고 다음처럼 원인을 한 문장으로 남긴다.
“3+4<8이므로 삼각형이 성립하지 않는데 코사인법칙을 적용했다.”
그 뒤 풀이 첫 줄에 삼각형 조건을 적는다.
3+4>8인가? → 거짓
따라서 해당 삼각형과 각 C는 존재하지 않는다.
세 변이 주어진 문제에서는 공식을 쓰기 전에 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작은지 확인해야 한다. 이 확인 없이 계산을 진행하면 계산기에서 각도를 찾을 수 없는 결과가 나와도 단순한 계산 실수로 오해하게 된다.
조건을 바꾼 5, 6, 7의 검산
새로운 조건으로 세 변의 길이가 5, 6, 7인 삼각형에서 길이 7인 변의 맞은편 각을 구해 보았다. 먼저 5+6>7이므로 삼각형은 성립한다. 세 변과 끼인각이 아닌 맞은편 변의 관계를 사용하므로 코사인법칙을 선택한다.
cos C = (52+62-72) ÷ (2·5·6) = (25+36-49) ÷ 60 = 12/60 = 1/5
따라서 C=cos-1(1/5)이며, 약 78.5°이다. 여기서는 계산 결과 1/5가 -1과 1 사이에 있고, 세 변의 삼각형 조건도 만족한다. 앞의 문제처럼 불가능한 변 조합을 그대로 공식에 넣지 않았는지 계산 줄마다 확인할 수 있다.
사인법칙이나 코사인법칙을 고른 뒤 마지막 값만 수정하는 대신, 삼각형 성립 조건 확인 → 변과 마주 보는 각의 대응 표시 → 공식 선택 → 결과 범위 검산의 흔적을 답안에 남기는 것이 이 유형의 핵심이다.