북변동고1수학과외: 세 변 거리의 제곱으로 직각삼각형 판별하기
김포과학기술고등학교의 학교 프린트나 교과서 문제를 복습할 때, 평면좌표에서 세 점이 이루는 삼각형의 모양을 그림만 보고 판단하면 답안의 근거가 빠지기 쉽다. 북변동고1수학과외에서는 직각으로 보이는지보다 세 변의 거리 제곱 사이의 관계를 식으로 남기는 과정을 확인한다.
결과만 적힌 좌표 풀이
예를 들어 점 A(1, 2), B(7, 2), C(1, 10)이 있을 때 학생은 그림을 보고 “삼각형 ABC는 직각삼각형이다”라고 쓴 뒤 다음 계산으로 넘어갔다. 답안에는 직각임을 뒷받침하는 세 변의 관계가 없었다.
이 문제에서는 두 점의 좌표 차이로 각 변의 거리 제곱을 구해야 한다.
AB2=(7-1)2+(2-2)2=36
AC2=(1-1)2+(10-2)2=64
BC2=(1-7)2+(10-2)2=36+64=100
가장 큰 값은 BC2=100이고, 나머지 두 값의 합은 AB2+AC2=36+64=100이다. 따라서 AB2+AC2=BC2이므로 각 A가 직각이다.
직각이라는 결론보다 먼저 남겨야 할 관계
학생의 현재 상태는 거리 제곱을 계산할 수 없는 것이 아니라, 계산한 뒤 직각 판별식으로 연결하는 단계가 빠진 상태에 가깝다. 특히 평면좌표에서 두 점 사이의 거리 제곱은
(x2-x1)2+(y2-y1)2
로 계산한다. 세 변을 모두 비교하지 않고 한 변의 길이만 구하거나, 그림에서 가로·세로로 놓인 변을 곧바로 직각변이라고 단정하면 근거가 남지 않는다. 가장 긴 변의 제곱을 먼저 찾고, 나머지 두 변의 제곱의 합과 비교해야 한다.
풀이 줄을 끊지 않고 직각 조건까지 연결하기
답안을 고칠 때는 다음처럼 중간식을 유지한다.
AB2=36, AC2=64, BC2=100
AB2+AC2=36+64=100=BC2
따라서 ∠A=90°이다.
이렇게 쓰면 계산이 틀렸을 때 어느 줄에서 오류가 시작되었는지도 확인할 수 있다. 예를 들어 BC2를 (7-1)2+(10-2)2로 적었다면 B와 C의 좌표를 잘못 짝지은 것이므로, 거리 공식 전체가 아니라 해당 변의 좌표 차이부터 수정한다.
그림을 회전해도 변의 관계는 변하지 않는다
복습 마무리에서는 점의 배치를 회전한 문제를 사용한다. 점 P(-2, 1), Q(-2, 7), R(6, 1)을 계산하면
PQ2=62=36, PR2=82=64, QR2=82+(-6)2=100
이고, PQ2+PR2=QR2이므로 ∠P가 직각이다. 앞의 그림과 방향이 달라도 가장 큰 거리 제곱과 나머지 두 거리 제곱의 합을 비교하는 절차는 같다.
이때 학생이 중간식을 직접 유지한 채 계산하고, 틀린 경우 오류가 발생한 줄을 찾아 고친다면 직각 판별을 결과 암기가 아닌 수학적 근거로 사용하고 있는지 확인할 수 있다. 복습 종료 여부도 정답만 맞힌 시점이 아니라, 회전된 도형에서 이 판단 과정을 혼자 재현했는지를 기준으로 정한다.