마산동중1수학과외, 도수분포다각형에서 전체와 부분을 바르게 비교하는 연습
“구간의 수를 모두 더하면 전체 인원이고, 가운데 점을 연결하면 도수분포다각형이다.” 이렇게 말하면서도 막상 표와 그래프가 함께 제시되면 학생의 손은 자주 멈춘다. 어떤 수를 비교해야 하는지 정하지 않은 채 숫자부터 읽고, 그래프의 가로축과 세로축을 바꾸어 보거나 도수와 구간의 기준을 섞기 때문이다. 마산동중1수학과외에서는 도수분포다각형을 그리는 절차만 외우기보다 표에서 전체·부분·기준을 구분해 수치를 해석하는 과정을 중심으로 다룰 필요가 있다.
표의 숫자가 모두 같은 종류는 아니다
예를 들어 어느 반 학생들의 독서 시간을 다음과 같이 조사했다고 하자.
시간(분) 0 이상 10 미만: 3명, 10 이상 20 미만: 7명, 20 이상 30 미만: 8명, 30 이상 40 미만: 5명, 40 이상 50 미만: 2명
여기서 3, 7, 8, 5, 2는 각 구간의 도수인 부분 자료다. 전체 학생 수는 이 도수들을 더한 25명이다. “20분 이상 읽은 학생은 몇 명인가?”라는 질문에는 8+5+2를 계산해 15명이라고 답한다. 반면 “20분 이상 30분 미만 구간의 비율은?”이라고 물으면 해당 구간의 도수 8을 전체 25와 비교해야 하므로 8÷25를 사용한다.
학생이 자주 하는 실수는 8과 25를 모두 단순한 숫자로 보고 문제의 기준을 확인하지 않는 것이다. 부분을 묻는지, 전체를 묻는지, 전체에 대한 부분의 비율을 묻는지 먼저 표시해야 한다. 특히 도수분포다각형에서는 세로축이 도수, 가로축이 시간 구간의 대표값이라는 점을 놓치면 점의 위치 자체가 달라진다.
도수분포다각형을 그릴 때 생기는 실제 오답
각 구간의 대표값은 5, 15, 25, 35, 45분이다. 따라서 좌표는 (5, 3), (15, 7), (25, 8), (35, 5), (45, 2)가 된다. 그런데 한 학생은 표의 첫 번째 숫자를 x좌표, 구간의 대표값을 y좌표로 읽어 (3, 5), (7, 15), (8, 25)처럼 점을 찍었다. 또 다른 풀이에서는 20 이상 30 미만을 나타내는 구간의 끝값 30을 사용해 (30, 8)을 표시했다.
이 오답은 계산 능력보다 표와 그래프 사이의 역할을 구분하지 못해서 생긴다. 가로축은 무엇을 조사했는지 나타내는 기준이고, 세로축은 그 기준에 해당하는 학생 수다. 구간 전체를 그대로 좌표로 쓰는 것이 아니라, 도수분포다각형에서는 각 계급의 계급값, 즉 구간의 양 끝값의 평균을 가로축에 사용한다. 20 이상 30 미만의 계급값은 (20+30)÷2=25다.
일부 학생은 도수 8을 전체 학생 수 25보다 큰 값처럼 처리하거나, 도수들을 약수와 배수처럼 묶어 “8은 24의 약수이므로 앞 구간과 연결된다”고 설명하기도 한다. 도수 사이의 크기와 배수 관계는 그래프의 점을 정하는 기준이 아니다. 필요한 것은 각 구간의 대표값과 그 구간의 도수 사이의 대응이다.
시간이 부족한 날에는 표시와 검산만 훈련한다
새로운 문제를 여러 개 풀기 어려운 날에는 다음 네 줄을 표 옆에 직접 적는다.
- 가로축 기준: 조사한 시간 구간의 계급값
- 세로축 값: 해당 구간의 도수
- 부분: 질문에서 지정한 구간의 도수
- 전체: 모든 도수의 합
그다음 각 행의 구간 양 끝값에 동그라미를 치고, 계급값을 계산한다. “10 이상 20 미만”에는 15를 적고, 도수 7과 연결해 (15, 7)로 옮긴다. 점을 찍은 뒤에는 그래프에서 다시 표로 돌아와 x값 15가 어느 구간을 뜻하는지, y값 7이 몇 명을 뜻하는지 말로 확인한다. 좌표를 읽을 때 x와 y의 순서를 바꾸는 학생은 점을 찍은 직후 “가로 15, 세로 7”이라고 읽게 하면 오류가 눈에 보인다.
비교 문제에서는 기준을 먼저 밑줄 친다. “30분 미만”이면 0 이상 10 미만, 10 이상 20 미만, 20 이상 30 미만을 포함한다. “30분 이상”이면 30 이상 40 미만과 40 이상 50 미만을 포함한다. “가장 많은 구간”은 전체 합을 다시 구하는 문제가 아니라 세로축의 도수가 가장 큰 점을 찾는 문제다.
한 중1 학생의 풀이가 바뀌는 과정
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 처음에는 표를 받은 뒤 3, 7, 8, 5, 2를 순서대로 점의 가로좌표에 놓고 그래프를 완성했다. 풀이시간은 길었지만 본인은 “그래프가 비슷하게 나왔다”고 판단했다. 이때 정답 그래프를 바로 보여 주지 않고, 각 점 아래에 ‘무엇을 나타내는가’를 쓰게 했다.
(5, 3)은 “5분 구간에 3명”이 아니라 “0분 이상 10분 미만 구간의 대표값이 5이고 도수가 3명”이라고 고쳐 말해야 했다. 이후 표의 구간, 계급값, 도수를 세 칸으로 나누어 옮기고, 표에서 그래프로 이동한 뒤 그래프에서 다시 표로 되돌아왔다. 마지막에는 전체 학생 수 25명과 20분 이상 학생 수 15명을 따로 계산해 부분과 전체를 혼동하지 않는지 확인했다.
같은 그래프를 다시 푸는 것으로 끝내지 않는 검증
훈련이 독립적으로 적용되는지 확인하려면 숫자와 표현을 바꾼다. 이번에는 수면 시간을 0 이상 2 미만, 2 이상 4 미만, 4 이상 6 미만으로 나누고, 세로축 단위를 ‘명’이 아니라 ‘명/명’으로 제시하지 않는지 먼저 확인하게 한다. 도수가 4, 9, 6이라면 계급값은 1, 3, 5이고 좌표는 (1, 4), (3, 9), (5, 6)이다.
다음 문제에서는 표가 아니라 이미 완성된 도수분포다각형을 제시하고 “4시간 이상인 학생 수”를 묻는다. 학생은 x축에서 4 이상인 점을 찾을 수 없다는 사실을 확인하고, 구간의 끝값이 아니라 계급값으로 표시된 그래프라는 점을 설명해야 한다. 또 표의 단위를 ‘시간’에서 ‘분’으로 바꾸면 계급값도 60, 180, 300처럼 함께 바뀌는지 살핀다.
마지막 검증은 다음 날 실시한다. 그래프의 모양이 달라지고 불필요한 전체 인원 정보가 추가되어도, 먼저 가로축의 기준과 세로축의 도수를 확인한 뒤 부분·전체·비교 대상을 표시하는지 본다. 이 과정을 통과하면 이미 아는 문제의 풀이시간만 재는 대신, 새로운 자료에서도 표와 그래프를 연결해 해석하는 힘을 확인할 수 있다.
마산동에서 조정할 학습 리듬
마산동 내에서도 은여울중학교와 주거지 사이의 이동 거리, 학교 일정, 수행평가 시기에 따라 집에서 수학에 쓸 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 따라서 시간이 짧은 날에는 계급값 계산과 좌표 검산 두 문제만 진행하고, 여유가 있는 날에는 표를 도수분포다각형으로 바꾸고 다시 자료 해석 문장까지 작성하는 방식으로 조정한다. 김포시의 감정중학교·고창중학교·고촌중학교·금파중학교는 참고 학교일 뿐 마산동 소재 학교로 단정하지 않으며, 학교별 출제경향을 추측하기보다 현재 학생이 표와 그래프를 어떤 순서로 읽는지에 맞춰 훈련 범위를 정한다.