김포중1수학과외, 도수분포표 서술형에서 식·과정·결론을 나누는 연습
“전체 학생 수는 30명이고, 10점 이상 20점 미만인 학생은 6명이므로 상대도수는 6이다.”
한 중1 학생의 답안에는 계산 과정처럼 보이는 문장이 있었지만, 상대도수의 의미와 단위가 빠져 있었다. 도수분포표 문제에서 숫자를 찾아 계산하는 것과 그 결과가 무엇을 뜻하는지 설명하는 것은 다른 능력이다. 특히 방정식 풀이에서 이항을 규칙처럼 외운 학생은 식의 각 항이 왜 이동하는지 설명하지 못한 채, 표의 수치를 답안에 옮겨 적는 데 그치기 쉽다.
표에서 읽은 수를 바로 답으로 쓰지 않기
도수분포표 서술형에서는 먼저 질문이 요구하는 값을 정확히 구분해야 한다. 구간별 학생 수를 묻는지, 전체 도수를 묻는지, 상대도수나 비율을 묻는지에 따라 식이 달라진다.
예를 들어 다음과 같은 표가 있다고 하자.
- 10점 이상 20점 미만: 6명
- 20점 이상 30점 미만: 9명
- 30점 이상 40점 미만: 5명
- 전체 학생 수: 20명
“20점 이상 30점 미만의 상대도수를 구하시오.”라는 문제라면 표에서 찾은 도수는 9이고, 전체 도수는 20이다. 따라서 식은 9÷20=0.45가 된다. 결론은 “20점 이상 30점 미만인 학생의 상대도수는 0.45이다.”처럼 써야 한다. 9라는 숫자만 쓰거나 45명이라고 쓰면 표를 읽은 것은 맞아도 질문에 답한 것은 아니다.
학생이 식을 세우기 전에 숫자부터 옮겨 적는다면 표의 해당 행에 밑줄을 긋고, 전체 학생 수에는 동그라미를 표시한다. 질문에서 요구하는 말을 ‘구할 값’ 칸에 적은 뒤 식, 과정, 결론을 순서대로 작성하게 한다.
이항을 외운 습관이 서술형에 남는 장면
방정식에서 3x+5=20을 풀 때 “+5를 이항하므로 -5”라고만 외운 학생은 양변에서 같은 수를 빼어 등식의 값이 유지된다는 설명을 하지 못한다. 이 습관은 도수분포표의 계산에서도 나타난다. 예를 들어 상대도수의 합을 구하는 과정에서 0.3+x=1을 만났을 때, 학생은 “0.3을 이항해서 x=1-0.3”이라고 쓰고도 왜 양변에서 0.3을 빼는지 설명하지 못한다.
이때 방정식 풀이를 길게 다시 반복하기보다 현재 서술형에 필요한 부분만 연결한다. 초안 옆에 다음 세 문장을 적는다.
- 식: 0.3+x=1
- 과정: 양변에서 0.3을 빼면 x=0.7
- 결론: 남은 구간의 상대도수는 0.7이다.
‘이항’이라는 단어만 쓰지 않고 양변에 실제로 한 연산을 표시하는 것이 핵심이다. 0.3+x-0.3=1-0.3처럼 중간식을 남기면 부호를 바꾸는 요령이 아니라 등식의 성질을 적용했다는 점이 드러난다.
식·과정·결론을 답안의 세 구역으로 고정하기
처음에는 공책에 세 칸을 만들어 사용한다. 식 칸에는 표에서 가져온 수와 구할 값의 관계를 쓴다. 과정 칸에는 나눗셈, 덧셈, 뺄셈 또는 방정식 변형을 한 줄씩 쓴다. 결론 칸에는 단위와 구간 또는 대상의 이름을 넣는다.
예를 들어 어떤 구간의 상대도수가 0.25이고 전체 학생 수가 32명일 때 그 구간의 도수를 구하는 문제라면 다음처럼 작성한다.
- 식: 32×0.25
- 과정: 32×0.25=8
- 결론: 해당 구간의 도수는 8명이다.
상대도수와 도수를 혼동하는 학생은 답 옆에 ‘비율’ 또는 ‘명’을 직접 적는다. 0.25를 답으로 쓰는 문제와 8명을 답으로 쓰는 문제를 구분하려면 계산 결과보다 질문의 명사를 먼저 확인해야 한다.
표현이 달라져도 같은 관계를 찾는 연습
교과서에는 “상대도수를 구하여라”라고 나오고 문제집에는 “전체에 대한 비율을 나타내어라”라고 나올 수 있다. 이때 학습 기준을 문제집 문장 자체에 맞추기보다 ‘해당 구간의 도수÷전체 도수’라는 관계를 기준으로 삼는다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 처음에는 표의 숫자에 모두 동그라미를 치고 계산하려 할 수 있다. 이때 필요한 숫자만 남기도록 구간 행, 전체 도수, 질문의 단위를 표시하게 한다. 사용한 정보에는 체크하고 사용하지 않은 숫자에는 작은 점을 찍는다. 불필요한 숫자를 모두 계산에 넣지 않는 훈련은 방정식에서 주어진 항을 무조건 이항하는 습관을 줄이는 데도 도움이 된다.
수행평가 자료를 짧은 지필형 문항으로 바꾸어 재사용할 수도 있다. 자료 속 표에서 한 구간을 골라 도수와 상대도수를 각각 구하고, 결과를 한 문장으로 설명하게 한다. 단순히 자료를 다시 읽는 것이 아니라 식·과정·결론의 세 부분을 갖춘 답안으로 변환해야 한다.
다음 날에는 숫자와 조건을 바꿔 확인하기
당일 작성한 답안을 바로 다시 맞히는 것으로 마치지 않는다. 다음 날에는 도수를 6명에서 8명으로 바꾸고 전체 학생 수도 20명에서 25명으로 바꾼다. 표의 행 순서를 바꾸거나, 전체 도수를 표의 마지막 행이 아닌 문제 문장에 제시할 수도 있다. 학생이 이전 숫자의 위치를 기억해 답하는지, 질문에서 전체 도수를 다시 찾아 식을 세우는지 확인한다.
또 하나의 검증은 불필요한 숫자를 넣는 것이다. 다른 구간의 도수 12명을 함께 제시하되 질문은 특정 구간의 상대도수만 묻게 한다. 학생은 해당 행과 전체 도수만 표시하고, 12명을 계산에 넣지 않아야 한다. 답안에는 식·과정·결론이 모두 있는지, 양변에서 같은 수를 뺀 경우 그 이유를 설명했는지, 도수에는 ‘명’, 상대도수에는 비율의 형태가 맞는지 체크한다.
복습 목록에는 해결된 문제를 계속 남기지 않는다. 다음 날 다시 풀었을 때 식의 수를 바꾸거나 표의 배치를 바꾸어도 독립적으로 답한 문제는 종료한다. 반대로 표의 숫자는 찾았지만 결론의 단위를 빠뜨리거나 방정식 변형을 이항 한 줄로 처리한 문제만 남겨 원인을 ‘표 읽기’, ‘계산’, ‘등식 설명’, ‘결론 표현’ 중 하나로 분류한다.
김포의 감정중학교, 고창중학교, 고촌중학교, 금파중학교, 김포신곡중학교, 김포여자중학교 등 학교별로 시험 범위와 수행평가 일정은 다를 수 있다. 따라서 학교 자료의 도수분포표나 수행평가 안내를 확인할 때도 평일 귀가 시간과 평가 시점을 함께 놓고, 현재 학교에서 요구하는 서술형 형식에 맞춰 식·과정·결론 작성부터 점검하는 방식이 적절하다.