마산동고2수학과외: 사인법칙과 코사인법칙의 적용 조건부터 확인하기
솔터고등학교를 비롯해 김포시의 학교별 학습 일정과 통학 시간은 다를 수 있으므로, 같은 마산동 생활권에서도 풀이를 점검할 수 있는 시간은 학생마다 달라진다. 그러나 삼각형 단원에서는 공부 시간보다 문제의 조건을 첫 줄에 정확히 읽는 습관이 먼저 드러난다.
변의 길이만 보고 코사인법칙을 시작한 풀이
다음 풀이에서 학생은 세 변의 길이가 3, 4, 8인 삼각형이 주어졌다고 생각하고 각을 계산하려 했다.
학생의 첫 줄: “a=3, b=4, c=8이므로 코사인법칙으로 각 A를 구하면 된다.”
하지만 이 세 길이는 삼각형을 만들 수 없다. 가장 긴 변은 8이고, 나머지 두 변의 합은 3+4=7이므로
3+4<8
이다. 삼각형이 성립하려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다. 따라서 이 경우에는 사인법칙이나 코사인법칙을 적용하기 전에 조건에서 탈락시켜야 한다. 각을 계산하면 안 되는 이유는 공식 선택의 문제가 아니라, 공식의 대상인 삼각형 자체가 존재하지 않기 때문이다.
a, b, c와 A, B, C의 대응을 말로 확인하기
코사인법칙
a²=b²+c²-2bc cos A
에서 a는 각 A와 마주 보는 변이다. b와 c는 각 A를 끼고 있는 두 변이다. 기호의 뜻을 말로 바꾸면 “구하려는 각 A의 맞은편 변은 a, 그 각을 사이에 둔 변은 b와 c”가 된다.
예를 들어 두 변이 5, 7이고 그 끼인각이 60°라면, 맞은편 변을 x라고 할 때 식은
x²=5²+7²-2·5·7·cos60°=25+49-35=39
이다. 여기서 5와 7 사이의 각이 60°라는 조건이 있어야 코사인법칙을 바로 사용할 수 있다. 세 변이 모두 주어진 경우에도 먼저 삼각형 성립 여부를 확인한 뒤, 구하려는 각의 맞은편 변을 기준으로 식을 세워야 한다.
새 조건에서 역계산으로 대응 관계 점검하기
세 변의 길이가 5, 6, 7인 삼각형에서 7의 맞은편 각을 C라고 하자. 삼각형 부등식은
5+6>7, 5+7>6, 6+7>5
를 모두 만족하므로 삼각형이 성립한다. 각 C에 코사인법칙을 적용하면
7²=5²+6²-2·5·6·cos C
이므로
cos C=(25+36-49)/(60)=1/5
가 된다. 마지막에는 역계산으로
25+36-60·(1/5)=61-12=49=7²
를 확인한다. 이 검산까지 해야 7이 각 C의 맞은편 변으로 사용되었는지, 두 변 5와 6이 각 C를 끼고 있는지 함께 점검할 수 있다. 사인법칙과 코사인법칙은 공식을 기억하는 데서 끝나지 않고, 삼각형의 성립 범위와 변·각의 대응을 먼저 판별해야 정확한 풀이가 된다.