겹치는 사건을 먼저 확인하는 확률 풀이
마산동의 솔터고등학교 고3 학생은 답안에서 P(A∪B)=P(A)+P(B)라고 적었다. 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인하지 않은 채 확률을 더한 것이 문제였다. 같은 김포시의 사우고등학교, 김포제일고등학교, 풍무고등학교, 장기고등학교는 참고 학교이며 마산동 소재 학교로 구분하지 않았다.
교집합을 빼야 하는 이유
한 학급 학생 40명 중 수학 문제집을 가진 학생이 22명, 영어 문제집을 가진 학생이 18명, 두 문제집을 모두 가진 학생이 9명이라고 하자. 학생 한 명을 임의로 고를 때 적어도 하나의 문제집을 가진 사건을 각각 A, B라 하면
P(A)=22/40, P(B)=18/40, P(A∩B)=9/40
이다. 두 문제집을 모두 가진 학생 9명은 A와 B에 각각 한 번씩 포함되므로 단순히 더하면 중복 계산된다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=22/40+18/40-9/40=31/40
따라서 학생이 답안에 쓴 22/40+18/40=40/40은 교집합을 빼지 않은 오답이다. A와 B가 배반이라면 교집합이 0이므로 덧셈만 가능하지만, 이 문제에서는 두 문제집을 모두 가진 학생이 9명 존재하므로 배반이 아니다.
답안의 틀린 줄을 고치는 과정
- 틀린 줄 표시: P(A∪B)=P(A)+P(B)
- 조건 확인: ‘두 문제집을 모두 가진 학생 9명’이 있으므로 A∩B가 공집합이 아니다.
- 식 수정: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
- 재대입: 22/40+18/40-9/40=31/40
- 역검산: A만 가진 학생은 22-9=13명, B만 가진 학생은 18-9=9명, 둘 다 가진 학생은 9명이다. 따라서 13+9+9=31명으로 결과가 일치한다.
조건이 충분한지 먼저 판별하기
만약 P(A)=0.55, P(B)=0.35만 주어졌다면 P(A∪B)를 하나의 값으로 정할 수 없다. 교집합에 대한 정보가 없기 때문이다. 일반적으로
max{P(A), P(B)}≤P(A∪B)≤min{1, P(A)+P(B)}
이므로 0.55≤P(A∪B)≤0.90이다. 두 사건이 독립이라는 조건이 추가될 때에만 P(A∩B)=0.55×0.35=0.1925로 계산할 수 있다.
새 조건으로 독립 검증
이번에는 주머니에 빨간 공 12개와 파란 공 8개가 있고, 공 하나를 뽑는 사건을 생각한다. A를 ‘빨간 공이 나오는 사건’, B를 ‘번호가 3의 배수인 공이 나오는 사건’으로 정하고, 전체 20개 중 빨간 공이면서 번호가 3의 배수인 공이 2개, 빨간 공이 12개, 번호가 3의 배수인 공이 6개라고 하자.
P(A∪B)=12/20+6/20-2/20=16/20=4/5
새 문제에서도 먼저 A∩B가 2개 존재하는지 확인한 뒤 교집합을 빼야 한다. 숫자와 사건의 내용이 바뀌어도 배반 여부와 교집합의 존재를 먼저 판단하는 풀이 기준은 그대로 적용된다.