마산동고1수학과외: 세 점의 기울기를 같은 좌표 순서로 비교하기
솔터고등학교 프린트에서 세 점이 한 직선 위에 있는지 묻는 문제를 다룰 때, 계산보다 먼저 좌표의 순서를 고정해야 한다. 마산동에서 귀가 후 확보되는 시간이 학생마다 다르더라도 이 판단만큼은 짧은 풀이 기록으로 분명하게 남길 수 있다.
기울기 비교 전에 좌표 차이를 나란히 적기
점 A(-2, 5), B(4, -1), C(7, -4)가 주어졌다고 하자. A에서 B로 이동할 때와 B에서 C로 이동할 때 각각의 좌표 차이를 같은 방향으로 계산한다.
- A에서 B: x좌표 차이는 4-(-2)=6, y좌표 차이는 -1-5=-6
- B에서 C: x좌표 차이는 7-4=3, y좌표 차이는 -4-(-1)=-3
따라서 두 기울기는 각각 -6/6=-1, -3/3=-1이다. 두 선분의 기울기가 같으므로 세 점은 한 직선 위에 있다.
분수식은 맞았지만 점의 순서가 뒤섞인 경우
관찰된 풀이에서는 좌표 차이를 표로 적지 않고 바로 분수식을 만들었다. 예를 들어 학생이 AB의 기울기를 (-1-5)/(-2-4)=(-6)/(-6)=1로 계산했다면, 분자는 B의 y값에서 A의 y값을 뺐지만 분모는 A의 x값에서 B의 x값을 뺀 것이다.
두 차이를 모두 A에서 B 방향으로 잡으면 분모는 4-(-2)=6이어야 한다. 반대로 B에서 A 방향으로 계산하려면 분자도 5-(-1)=6으로 바꾸어야 한다. 한쪽만 방향을 바꾸면 기울기의 부호가 달라져 세 점의 관계를 잘못 판단하게 된다.
기울기 = y좌표의 변화량 ÷ x좌표의 변화량이며, 두 변화량은 반드시 같은 두 점을 같은 방향으로 비교한다.
오답표에 빠진 판단을 풀이의 첫 줄로 옮기기
현재 상태는 기울기 공식을 모르는 것이 아니라, 세 점의 정렬 여부를 판단하기 전에 좌표 차이의 방향을 확인하는 절차가 안정되지 않은 상태에 가깝다. 오답표에 ‘세 점이 한 직선 위에 있는지 기울기나 거리관계로 판단하기’가 빠져 있었으므로, 다음 풀이부터는 계산 전에 두 점의 이름과 뺄셈 순서를 적는다.
AB: (yB-yA)/(xB-xA)
BC: (yC-yB)/(xC-xB)
위 형식을 먼저 쓴 뒤 숫자를 대입하면 좌표 차이의 순서가 자연스럽게 고정된다. 이번 예에서는 두 식이 각각 -1이므로 ‘기울기가 같다’고 결론을 적는다.
거리관계로 확인할 때도 점의 위치를 검산하기
기울기를 사용할 수 없는 수직선이 포함된 문제에서는 거리관계를 이용할 수 있다. 다만 이때도 좌표를 잘못 읽지 않았는지 확인해야 한다. 예를 들어 A(1, 2), B(1, 6), C(1, -3)은 세 점의 x좌표가 모두 1이므로 모두 같은 수직선 위에 있다. 기울기를 분수로 만들기보다 x좌표가 같다는 조건을 바로 확인하는 편이 정확하다.
표의 단위가 바뀐 자료에서 다시 확인하기
훈련 뒤에는 같은 좌표 문제를 반복하지 않고, 표의 단위를 바꾼 자료에서 적용 여부를 확인한다. 예를 들어 표에 가로축 단위가 2 km, 세로축 단위가 5 km로 표시되고 두 점이 P(3, 4), Q(7, 14)로 주어졌다면, 먼저 가로값을 x, 세로값을 y로 읽었는지 확인한다.
이때 학생이 P에서 Q로 이동한 좌표 차이를 (7-3, 14-4)=(4, 10)으로 적고, 그림에서도 오른쪽으로 4단위·위쪽으로 10단위 이동했는지 검산해야 한다. 점의 위치와 표의 x·y 순서가 일치한 뒤에야 기울기 10/4=5/2를 사용한다. 그림이 달라져도 이 순서를 스스로 시작한다면 세 점의 공선성 판단을 새로운 조건에 적용한 것으로 볼 수 있다.