끼인각을 먼저 확인해야 하는 삼각형 풀이
고촌읍고2수학과외에서 삼각형 문제를 점검할 때는 공식을 외웠는지보다 주어진 두 변과 각이 어떤 관계인지부터 살핀다. 고촌고등학교의 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에도 풀이 첫 줄에 조건을 남기면, 귀가 후 짧은 복습 시간에도 오류 원인을 찾기 쉽다.
두 변 사이의 각인가, 마주 보는 각인가
두 변의 길이와 그 두 변이 끼고 있는 각이 주어졌다면 코사인법칙을 우선 검토한다. 삼각형에서 변 a, b의 끼인각을 C, 그 각의 맞은편 변을 c라 하면
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
이다. 여기서 C는 반드시 a와 b 사이의 각이어야 한다. 두 변과 끼인각이 주어졌다는 이유만으로 사인법칙을 바로 적용할 수는 없다. 사인법칙은 한 변과 그 변의 맞은편 각의 대응이 확인될 때 사용한다.
−2ab cos C를 빠뜨린 계산
예를 들어 a = 5, b = 7, C = 60°인 삼각형에서 c를 구한다고 하자. 풀이 여백에 다음처럼 적었다면 오류가 발생한다.
c2 = 52 + 72 = 74
이는 코사인법칙의 마지막 항을 누락한 식이다. 정확한 계산은
c2 = 25 + 49 − 2·5·7·cos 60°
= 74 − 35 = 39
이므로 c = √39이다. 두 변이 이루는 각이 60°이므로, 세 번째 변은 두 변을 직각으로 놓았을 때의 길이 √74보다 작아져야 한다는 점도 결과를 점검하는 근거가 된다.
조건·계산·검산을 나누어 오류 위치 찾기
풀이를 마친 뒤 여백을 세 칸으로 나누어 기록한다.
- 조건: a = 5, b = 7, 두 변의 끼인각 C = 60°
- 계산: c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
- 검산: cos 60° = 1/2을 대입하고 c2 = 39인지 확인
잘못된 풀이에서 −2ab cos C가 사라졌다면 세 칸 전체를 다시 베끼지 않고, 누락이 생긴 계산 칸만 정확한 식으로 고친다. 변과 각의 대응을 조건 칸에 표시하면 C의 맞은편 변이 c라는 관계도 분명해진다.
안내 없이 바뀐 수치에서 대응 관계 확인하기
마지막에는 다음 문항을 풀이 순서 없이 제시한다.
삼각형 ABC에서 AB = 6, AC = 8, ∠A = 120°일 때 BC의 길이를 구하여라.
먼저 조건 칸에 AB와 AC가 ∠A를 끼고 있으며, 그 맞은편 변이 BC임을 적어야 한다. 이후
BC2 = 62 + 82 − 2·6·8·cos 120°
= 36 + 64 − 96·(−1/2) = 148
따라서 BC = 2√37이다. cos 120°가 음수이므로 끼인각이 둔각일 때 세 번째 변이 충분히 커지는지도 함께 확인한다. 이처럼 새로운 수치에서도 첫 줄에 조건을 적고, −2ab cos A 항을 남기는지가 풀이의 안정성을 보여준다.