고촌읍고1수학과외: 좌표축 위 점에서 0인 좌표 찾기
좌표 문제에서 “점 \(P(x,y)\)가 좌표축 위에 있다”는 조건은 계산을 길게 하기 전에 먼저 식으로 바꾸어야 한다. 고촌고등학교 과제와 지필평가를 함께 준비할 때도 귀가 후 풀이 시간이 짧다면 이 조건을 표시하는 습관부터 점검하는 것이 효율적이다.
좌표축 위라는 말이 곧 두 좌표가 0이라는 뜻은 아니다
점 \(P(x,y)\)가 x축 위에 있으면 y좌표가 0이므로 \(y=0\)이다. 반대로 y축 위에 있으면 x좌표가 0이므로 \(x=0\)이다. 원점에 대해서만 \(x=0,\ y=0\)이 동시에 성립한다.
예를 들어 점 \(P(a-3,\,2a+1)\)이 x축 위에 있다면 y좌표를 0으로 두어야 한다.
\[ 2a+1=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac12 \]
따라서 점의 좌표는
\[ \left(a-3,\,0\right) =\left(-\frac12-3,\,0\right) =\left(-\frac72,\,0\right) \]
여기서 \(a-3=0\)으로 놓으면 y축 위의 조건을 사용한 것이므로 문제의 축을 바꾸게 된다.
조건을 옮긴 뒤 원문을 다시 대조하지 않은 풀이
관찰된 답안에서는 좌표를 식으로 바꾼 뒤 여백이나 풀이 줄에 ‘좌표축 위’ 조건을 표시하지 않았고, 바로 다음 계산으로 넘어갔다. 그래서 새 문제에서 어떤 좌표를 0으로 두어야 하는지 찾지 못했다.
점 \(Q(2-b,\ b-5)\)가 y축 위에 있을 때 \(b\)를 구하여라.
이 문제에서 y축 위라는 뜻은 x좌표가 0이라는 뜻이다. 그런데 학생이 \(b-5=0\)이라고 적었다면, 이는 y좌표를 0으로 만든 것이므로 y축이 아니라 x축 조건을 적용한 오답이다.
정확한 풀이에서는
\[ 2-b=0 \quad\Rightarrow\quad b=2 \]
를 얻는다. 따라서 점 \(Q\)는
\[ (2-2,\ 2-5)=(0,-3) \]
이고 실제로 x좌표가 0이므로 y축 위에 있다.
오답이 생긴 줄부터 조건 표시를 삽입한다
수정할 때는 풀이 전체를 처음부터 베껴 쓰지 않고, 조건을 사용해야 했던 위치에 표시를 남긴다.
- “y축 위” 옆에 \(x=0\)을 적는다.
- 좌표를 \((2-b,\ b-5)\)로 확인한다.
- x좌표인 \(2-b\)를 0으로 놓는다.
- 구한 값을 두 좌표에 대입해 조건을 검산한다.
이 과정을 거치면 \(b=2\)를 얻은 뒤 \((0,-3)\)을 확인할 수 있다. 좌표축 조건과 계산 결과가 일치하므로 답의 근거도 남는다.
부호와 절댓값을 따로 확인하는 변형
새로운 문제에서는 다음과 같이 조건과 절댓값이 함께 제시된 경우를 사용한다.
점 \(R(t-4,\ 3t+2)\)가 x축 위에 있고, 점 \(R\)의 원점까지의 거리를 구하여라.
x축 위이므로 y좌표를 0으로 둔다.
\[ 3t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac23 \]
따라서 x좌표는
\[ t-4=-\frac23-4=-\frac{14}{3} \]
점은 \(\left(-\frac{14}{3},0\right)\)이다. 원점까지의 거리는 음수가 될 수 없으므로 좌표의 부호와 절댓값을 분리하여
\[ \sqrt{\left(-\frac{14}{3}\right)^2+0^2} =\left|-\frac{14}{3}\right| =\frac{14}{3} \]
으로 계산한다. 좌표축 조건을 먼저 찾고, 그다음 부호와 절댓값을 따로 처리했는지를 확인하면 답을 외워서 쓰는지 실제 조건을 적용하는지 구별할 수 있다.
피곤한 날에도 남겨야 할 한 줄
귀가 시간이 늦거나 과제량이 많은 날에는 풀이 전체를 길게 정리하기보다 “x축이면 \(y=0\), y축이면 \(x=0\)”처럼 해당 조건을 사용한 줄을 반드시 남긴다. 이후 새로운 문자와 부호가 들어간 문제에서 같은 표시와 계산 순서를 스스로 재현하면 이 유형의 학습을 마무리할 수 있다.