고촌읍 고3 수학과외: 배반과 독립을 구분하는 확률 풀이
고촌고등학교에 다니는 한 학생은 귀가 후 과제를 먼저 처리하고 시험 범위를 정리하는 습관은 있었지만, 확률 문제에서는 사건 사이의 조건을 식으로 확인하지 않고 해설의 표현을 기억해 적용하는 경우가 많았다. 고촌읍 지역에서 학부모가 점검할 부분도 학교 이름보다 귀가 시각 이후 실제 풀이에서 조건을 확인하는지에 있다.
배반이면 독립이라고 판단한 오답
주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 들어 있다. 공을 한 개 꺼낼 때 사건을 다음과 같이 정한다.
- A: 빨간 공을 꺼내는 사건
- B: 파란 공을 꺼내는 사건
한 번만 꺼내므로 A와 B는 동시에 일어날 수 없다. 따라서
P(A∩B)=0
학생은 풀이 중 다음과 같이 적었다.
“A와 B는 배반사건이므로 독립사건이다. 따라서 P(A∩B)=P(A)P(B)=3/5×2/5=6/25이다.”
이 식은 틀렸다. 배반사건이라는 사실로부터 P(A∩B)=0을 얻었는데, 독립을 가정하면 P(A∩B)=P(A)P(B)=6/25가 된다. 두 값이 다르므로 A와 B는 독립이 아니다. 실제로 두 사건의 확률이 모두 0이 아니면서 배반이면 독립일 수 없다.
사건의 관계를 식으로 다시 확인하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 사건의 포함 관계와 교집합을 먼저 적었다.
- 배반: A∩B=∅, 따라서 P(A∩B)=0
- 독립: P(A∩B)=P(A)P(B)
- P(A)=3/5, P(B)=2/5
이 문제에서는
P(A)P(B)=3/5×2/5=6/25≠0=P(A∩B)
이므로 독립 조건을 만족하지 않는다. 또한 조건부확률로도 확인할 수 있다.
P(B|A)=0
반면 독립이라면 P(B|A)=P(B)=2/5이어야 한다. 따라서 A가 일어났다는 정보가 B의 가능성을 2/5에서 0으로 바꾸므로 두 사건은 독립이 아니다.
조건을 바꾼 독립성 검증
이번에는 주사위 한 개를 던지는 사건을 새로 설정했다.
- C: 짝수가 나오는 사건
- D: 3의 배수가 나오는 사건
C={2,4,6}, D={3,6}이므로
P(C)=1/2, P(D)=1/3, P(C∩D)=P({6})=1/6
따라서
P(C)P(D)=1/2×1/3=1/6=P(C∩D)
이 두 사건은 독립이다. 하지만 C와 D는 6이라는 결과를 함께 포함하므로 배반사건은 아니다. 학생은 답만 “독립”이라고 쓰지 않고, 교집합과 곱을 각각 계산해 두 값이 같은지 검산했다.
배반은 동시에 일어날 수 없는 관계이고, 독립은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 관계다. 확률 문제에서는 두 용어가 비슷해 보여도 P(A∩B)=0인지, P(A∩B)=P(A)P(B)인지 먼저 확인해야 한다.