걸포동 고2수학과외: 끼인각을 보고 코사인법칙을 선택하는 연습
삼각형의 변과 각이 제시됐을 때 공식부터 떠올리면 풀이가 흔들릴 수 있다. 걸포동에서 귀가 후 학교 프린트와 과제를 점검할 때도, 먼저 주어진 조건이 어떤 법칙에 맞는지 확인하는 습관이 중요하다. 특히 코사인법칙은 두 변과 그 두 변 사이의 끼인각이 주어졌거나, 세 변으로 각을 구할 때 적용한다.
두 변 3, 5와 끼인각 60°에서 시작한 오답
삼각형 ABC에서 AB=3, AC=5, ∠A=60°일 때 BC를 구하는 문제를 살펴보자. 구하려는 변 BC의 맞은편 각은 A이고, 주어진 두 변 AB와 AC가 바로 각 A를 끼고 있다. 따라서 조건은 두 변과 끼인각이 주어진 SAS이다.
그런데 답안에는 사인법칙을 먼저 적용하여
3/sin B = 5/sin C
라고 적혀 있었다. 이 식만으로는 B와 C 중 어느 각의 사인값도 알 수 없으므로 BC를 계산할 수 없다. 사인법칙을 사용할 수 없는 이유는 공식 자체가 틀려서가 아니라, 현재 주어진 조건에 대응하는 ‘변과 마주 보는 각’의 한 쌍이 없기 때문이다.
끼인각을 기준으로 식을 세우기
코사인법칙을 적용하면 각 A의 맞은편 변 BC에 대해
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A
이다. 값을 대입하면
BC² = 3² + 5² - 2·3·5·cos 60°
= 9 + 25 - 30·1/2 = 19
따라서 BC = √19이다. 세 변의 길이는 3, 5, √19이므로 삼각형 부등식도 만족한다. 예를 들어 3+√19>5이고 3+5>√19이므로 계산 결과가 실제 삼각형의 변으로 가능한지도 확인할 수 있다.
조건·계산·검산을 따로 표시한 풀이
오답을 전부 다시 베끼는 대신, 답안 옆에 세 칸을 만들어 오류가 발생한 위치를 표시한다.
- 조건: AB=3, AC=5, 두 변의 끼인각 ∠A=60° → SAS
- 계산:
BC²=3²+5²-2·3·5cos60°=19 - 검산: 구한 변 BC는 각 A의 맞은편 변이며, 세 변이 삼각형을 이룬다.
이렇게 하면 사인법칙을 잘못 선택한 경우에는 조건 칸에, 부호나 계수 계산을 틀린 경우에는 계산 칸에, 구한 변의 위치나 삼각형 성립 여부를 확인하지 않은 경우에는 검산 칸에 표시할 수 있다. 이후에는 틀린 칸만 정확히 다시 쓴다.
각이 둔각으로 바뀌어도 같은 판단을 유지하는가
새로운 삼각형에서 두 변의 길이가 4, 7이고 그 사이의 각이 120°일 때, 나머지 변을 구해 보자. 먼저 조건을 문장으로 적으면 ‘두 변과 끼인각이 주어졌으므로 코사인법칙’이다.
c² = 4² + 7² - 2·4·7·cos120°
cos120° = -1/2이므로
c² = 16 + 49 - 56(-1/2) = 93
따라서 c=√93이다. 둔각의 코사인은 음수이므로 뺄셈 항이 실제 계산에서는 더해지는 것을 확인해야 한다. 또한 4+7>√93이므로 이 결과는 삼각형 조건에도 맞는다.
새 문제에서 조건 칸에 SAS를 먼저 적고, 계산 칸에서 cos120°의 부호를 반영하며, 마지막으로 세 변의 관계를 확인했다면 숫자만 바꾼 풀이가 아니라 코사인법칙을 선택하는 판단까지 이어진 것으로 볼 수 있다.