걸포동고1수학과외: 내분점 좌표를 거리비로 역검산하기
좌표평면에서 점 \(P\)가 선분 \(AB\)를 \(AP:PB=m:n\)으로 나눈다면, 좌표 공식으로 구한 뒤 실제 거리도 같은 비가 되는지 확인해야 한다. 걸포동 지역은 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 김포시 내 사우고등학교·김포제일고등학교·풍무고등학교·장기고등학교·솔터고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 삼아 학교 프린트와 과제의 풀이 과정을 점검할 수 있다.
좌표를 구한 뒤 멈춘 풀이
예를 들어 \(A(-2,5)\), \(B(7,-1)\)을 잇는 선분을 점 \(P\)가 \(AP:PB=2:1\)로 내분한다고 하자. 내분점 공식에 따르면
\[ P\left(\frac{1\cdot(-2)+2\cdot7}{3},\frac{1\cdot5+2\cdot(-1)}{3}\right)=(4,1) \]
이다. 실제 답안에서 \(P=(4,1)\)까지 정확히 구한 뒤 다음 문제로 넘어가면서 거리 계산을 한 줄도 남기지 않는 행동이 나타날 수 있다. 이 경우 좌표 공식은 사용할 수 있지만, 그 점이 정말 주어진 비로 선분을 나누는지는 확인하지 않은 상태다.
공식의 계수가 어느 점에 붙는가
\(AP:PB=2:1\)이면 \(P\)는 \(B\)에 더 가까운 점이다. 따라서 \(A\)의 좌표에는 \(1\), \(B\)의 좌표에는 \(2\)를 곱한다.
구한 \(P=(4,1)\)에 대해
\[ AP=\sqrt{(4+2)^2+(1-5)^2} =\sqrt{36+16}=2\sqrt{13} \]
\[ PB=\sqrt{(7-4)^2+(-1-1)^2} =\sqrt{9+4}=\sqrt{13} \]
이므로
\[ AP:PB=2\sqrt{13}:\sqrt{13}=2:1 \]
이다. 좌표 계산 결과와 거리비가 일치하므로 \(P\)는 조건에 맞는 내분점이다. 이 검산은 답을 다시 계산하는 절차가 아니라, 구한 점이 선분과 주어진 비라는 조건을 만족하는지 확인하는 절차다.
답안에 남겨야 할 한 줄
풀이를 지도할 때는 정답 좌표만 쓰게 하지 않고, 계산 직전에 근거를 말하게 한다. 예를 들면 “\(P=(4,1)\)을 구했으므로 \(AP\)와 \(PB\)를 각각 계산해 \(2:1\)인지 확인한다”라고 설명한 뒤 실제 식을 적는다. 이후 답안에는 최소한 다음과 같은 검산 흔적이 남아야 한다.
\(AP=2\sqrt{13},\ PB=\sqrt{13}\)이므로 \(AP:PB=2:1\). 따라서 \(P=(4,1)\)은 조건을 만족한다.
이 과정을 통해 오류를 개념, 조건, 계산, 표현 중 어디에서 찾았는지도 구분할 수 있다. 좌표 공식의 계수를 잘못 붙였다면 개념 오류이고, 거리비를 확인하지 않았다면 조건 확인과 표현이 빠진 경우다.
학교 프린트의 표현이 달라져도 확인하기
교과서 식을 그대로 반복하지 않고, 학교 프린트에서 “점 \(P\)가 \(A(0,0)\), \(B(10,5)\)를 \(AP:PB=3:2\)로 내분한다”고 제시했다고 하자. 이때
\[ P=\left(\frac{2\cdot0+3\cdot10}{5}, \frac{2\cdot0+3\cdot5}{5}\right)=(6,3) \]
이다. 이제 좌표만 보고 끝내지 않고 거리를 계산하면
\[ AP=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5,\qquad PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5 \]
이므로 \(AP:PB=3:2\)가 된다. 앞의 문제와 숫자와 비율은 달라졌지만, 좌표를 구한 뒤 거리로 조건을 확인하는 행동은 그대로 실행된다.
귀가 후 짧은 풀이에서도 확인 흔적 남기기
걸포동에서 김포시 내 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때는 귀가 시각과 과제량에 따라 풀이 순서를 정하더라도, 내분점 문제의 마지막 검산 한 줄을 생략하지 않도록 한다. 맞힌 문제인지보다 \(AP\), \(PB\)를 실제로 계산해 주어진 비와 비교했는지를 답안에서 확인한다.
새 문제의 결과는 정답만으로 판단하지 않는다. 학생이 좌표를 구한 뒤 두 거리의 비를 직접 계산했는지, 그리고 그 비가 조건과 같다는 문장까지 남겼는지를 살핀다. 이렇게 조건 확인으로 풀이가 마무리되면 표현이 바뀐 문제에서도 같은 오류를 피했는지 분명하게 확인할 수 있다.