걸포동 고3 수학과외: ‘적어도 하나’는 여사건으로 먼저 정리하기
걸포동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 사우고등학교·김포제일고등학교·풍무고등학교·장기고등학교·솔터고등학교 등 김포시 통학권을 고려해 학습 시간을 조율할 때도 학교 선택보다 귀가 시각과 과제량, 시험 준비 순서를 함께 점검하는 것이 중요하다.
합집합을 바로 더한 풀이의 오류
학생은 두 사건이 독립이라는 조건을 확인한 뒤, 사건 A가 일어날 확률이 \(P(A)=\frac{3}{8}\), 사건 B가 일어날 확률이 \(P(B)=\frac{2}{5}\)일 때 ‘A 또는 B가 일어날 확률’을 구했다.
학생의 오답 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{8}+\frac{2}{5}=\frac{31}{40}\)
이 식은 A와 B가 동시에 일어나는 경우를 두 번 포함한다. 독립이어도 두 사건의 교집합이 사라지는 것은 아니며,
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{20} \]
이다. 따라서 합집합 공식으로 계산하면
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{3}{8}+\frac{2}{5}-\frac{3}{20} =\frac{5}{8}. \]
‘적어도 하나’를 여사건으로 바꾸는 교정
학생이 계산 흔적에서 직접 경우를 계속 더하고 있어, 사건을 먼저 문장으로 바꾸게 했다. ‘적어도 하나’의 여사건은 ‘A도 일어나지 않고 B도 일어나지 않음’이다.
\[ P(\text{적어도 하나})=1-P(A^c\cap B^c) \]
A와 B가 독립이면 여사건도 독립이므로
\[ P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c) =\left(1-\frac{3}{8}\right)\left(1-\frac{2}{5}\right) =\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{5} =\frac{3}{8}. \]
따라서
\[ P(\text{적어도 하나})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}. \]
학생은 틀린 덧셈 줄에 표시한 뒤, 독립 여부와 교집합의 존재를 확인하고, 여사건 식으로 수정했다. 마지막에는 합집합 공식의 결과 \(\frac{5}{8}\)과 일치하는지 대조해 기준을 재현했다.
독립 조건이 사라진 문제로 재검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 조건을 바꿨다. \(P(C)=\frac{1}{2}\), \(P(D)=\frac{3}{5}\), \(P(C\cap D)=\frac{1}{4}\)이고 C와 D가 독립이라는 조건은 주어지지 않았다고 하자. C 또는 D가 일어날 확률은
\[ P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D) =\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{1}{4} =\frac{17}{20}. \]
여사건으로 다시 확인하면
\[ P(C^c\cap D^c)=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}. \]
이때는 독립 조건이 없으므로 \(\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac35\right)\)처럼 곱할 수 없다. 학생은 바뀐 교집합 값을 먼저 확인한 뒤, 합집합과 여사건 결과가 서로 보완되어 합이 1이 되는지 검산했다.