감정동 고2수학과외: 끼인각을 기준으로 코사인법칙과 사인법칙 연결하기
“마주 보는 변이 무엇인지 표시하지 않은 채, 지난 문제의 식을 그대로 옮겼습니다.” 감정동에서 고2 수학을 공부하는 학생의 풀이에는 이런 흔적이 남아 있었다. 김포시 내 사우고등학교, 김포제일고등학교, 풍무고등학교, 장기고등학교, 솔터고등학교 등 통학권 학교의 내신 자료를 다룰 때도 문제의 숫자보다 도형 조건을 먼저 읽는 과정이 중요하다.
두 변과 끼인각이면 왜 코사인법칙인가
삼각형 ABC에서 두 변의 길이와 그 사이의 각이 주어졌다면, 먼저 그 각의 맞은편 변을 정한다. 예를 들어
AB=5, AC=7, ∠A=60°
라면 ∠A의 맞은편 변은 BC이므로 코사인법칙은
BC²=AB²+AC²−2·AB·AC·cos A
이다. 따라서
BC²=5²+7²−2·5·7·cos60°=25+49−70·1/2=39
이므로 BC=√39이다. 두 변과 끼인각이 주어졌으므로 사인법칙을 먼저 적용하는 것이 아니라, 끼인각을 포함한 두 변으로 세 번째 변을 구하는 코사인법칙을 선택해야 한다.
−2ab cos C를 빠뜨린 풀이
새 문항에서 학생은 두 변과 끼인각을 확인했지만 삼각형의 조건을 표시하지 않고 직전 풀이의 모양만 따라갔다. 계산지에는 다음과 같이 적혀 있었다.
BC²=5²+7²=74
이 식은 코사인법칙의 −2·AB·AC·cos A 항을 누락한 것이다. 따라서 √74는 이 문제의 BC가 아니다. 두 변이 이루는 각이 60°이면 세 번째 변의 길이는 단순히 두 변의 제곱합으로 정해지지 않으며, 각도에 따른 항이 반드시 반영되어야 한다.
또한 계산을 시작하기 전에 세 변이 실제 삼각형을 이루는지도 확인해야 한다. 여기서는 5, 7, √39에 대해
5+√39>7
이므로 삼각형 조건도 만족한다. 이렇게 도형의 조건, 공식의 항, 결과의 가능성을 한 줄씩 확인해야 풀이 절차가 숫자에 끌려가지 않는다.
식의 빈칸을 채우는 대신 조건을 표시하기
수정할 때는 문제의 수치를 바로 공식에 넣지 않고 다음 순서로 답안에 남긴다.
- 주어진 끼인각을 표시한다.
- 그 각의 양옆 두 변을 a, b로 정한다.
- 맞은편 변을 c로 표시한다.
- c²=a²+b²−2ab cos C를 먼저 쓴다.
- 계수와 부호를 대입한 뒤 세 변의 조건을 확인한다.
예를 들어 AB=6, AC=8, ∠A=120°라면
BC²=6²+8²−2·6·8·cos120°
=36+64−96·(−1/2)=148
이므로 BC=2√37이다. 둔각의 코사인은 음수이므로, 코사인법칙의 마이너스와 cos120°의 음수가 함께 작용해 더하기로 바뀐다. 이 부호를 직접 표시하는 것이 훈련의 핵심이다.
사인법칙으로 이어질 때도 마주 보는 쌍을 유지하기
위의 두 번째 삼각형에서 BC=2√37을 구한 뒤 ∠B를 구한다면, 변과 마주 보는 각의 대응을 유지해야 한다.
BC/sin A=AC/sin B
이므로
2√37/sin120°=8/sin B
이다. 즉 sin B=8·sin120°/(2√37)=2√3/√37이다. AB와 ∠C, AC와 ∠B처럼 마주 보는 관계를 바꾸어 쓰면 사인법칙을 올바르게 적용할 수 없다.
숫자가 바뀐 문항에서 절차가 남아 있는가
이제 앞의 문제를 나란히 보여 주지 않고 다음 문항만 제시한다.
△PQR에서 PQ=9, PR=12, ∠P=60°일 때 QR의 길이를 구하여라.
풀이에는 먼저
QR²=9²+12²−2·9·12·cos60°
=81+144−108=117
을 남겨야 하므로 QR=3√13이다. 이어서 9+12>3√13인지 확인하면 삼각형 조건도 충족한다. 이 새로운 문항에서 끼인각과 맞은편 변을 스스로 찾고, −2ab cos P 항을 빠뜨리지 않으며, 계산 뒤 삼각형 가능성까지 확인한다면 코사인법칙의 절차가 숫자 암기가 아니라 조건에 따라 재현된 것이다.