감정동 고3수학과외: 조건이 달라진 확률에서 배반과 독립 구분하기
감정동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 김포시의 사우고등학교·김포제일고등학교·풍무고등학교·장기고등학교·솔터고등학교 등을 통학권 참고 범위로만 두고 학생의 주간 일정과 학교별 학습 흐름에 맞춰 확률 문제를 점검했다.
앞 문제의 결론을 그대로 옮겨 적은 오답
한 상자에 빨간 공 3개, 파란 공 2개, 흰 공 1개가 있다. 공 1개를 꺼낼 때 사건을 다음과 같이 정의한다.
- A: 빨간 공이 나온다.
- B: 파란 공이 나온다.
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로
P(A∩B)=0
이다. 하지만
P(A)P(B)=\frac{3}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}
이므로 A와 B는 독립이 아니다. 즉, 이 경우에는 배반이지만 독립은 아니다.
학생은 다음 문제에서도 이 결론을 그대로 적용했다. 공을 한 개가 아니라 두 개를 동시에 꺼내고, 사건을 바꾸어
- C: 두 공 중 적어도 하나가 빨간색이다.
- D: 두 공의 색이 서로 다르다.
라고 했는데, 학생은 답안에
“C와 D는 함께 일어날 수 없으므로 P(C∩D)=0이다.”
라고 적었다. 이 식은 오답이다. 빨간 공 1개와 파란 공 1개를 뽑으면 C도 성립하고 D도 성립하므로 두 사건은 배반이 아니다.
사건의 포함 관계부터 다시 확인한 수정 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 사건의 의미를 표로 다시 정리했다.
- C: 빨간 공이 최소 한 개 포함된다.
- D: 두 공의 색이 다르다.
전체 경우를 색의 조합으로 세면
- 빨강·빨강: \(\binom{3}{2}=3\)
- 빨강·파랑: \(3\times2=6\)
- 빨강·흰색: \(3\times1=3\)
- 파랑·파랑: \(\binom{2}{2}=1\)
- 파랑·흰색: \(2\times1=2\)
따라서 전체 경우의 수는 \(\binom{6}{2}=15\)이고,
P(C)=1-\frac{\binom{3}{0}}{\binom{6}{2}}=1-\frac{3}{15}=\frac45
이다. 서로 다른 색인 경우는 빨강·파랑, 빨강·흰색, 파랑·흰색이므로
P(D)=\frac{6+3+2}{15}=\frac{11}{15}
이다. C와 D가 동시에 성립하는 경우는 빨강·파랑과 빨강·흰색이므로
P(C∩D)=\frac{6+3}{15}=\frac35
이다. 한편
P(C)P(D)=\frac45\times\frac{11}{15}=\frac{44}{75}
이고 \(\frac35=\frac{45}{75}\)이므로 두 값이 다르다. 따라서 C와 D는 배반도 아니고 독립도 아니다.
학생은 마지막에 \(\frac35\)에 15를 곱해 9를 얻는 역계산을 했다. 실제로 C∩D의 경우가 빨강·파랑 6개와 빨강·흰색 3개를 합한 9개인지 확인하여 출발식과 계산 결과를 복원했다.
사건 정의를 바꾼 독립 검증
이번에는 흰 공을 제외하고 빨간 공 3개와 파란 공 2개 중에서 공 1개를 뽑는 실험으로 표본공간을 바꾼다. 사건을
- E: 빨간 공이 나온다.
- F: 홀수 번호 공이 나온다.
로 정하고, 빨간 공에 1·2·3, 파란 공에 4·5라는 번호를 붙인다. 그러면
P(E)=\frac35,\quad P(F)=\frac25,\quad P(E∩F)=\frac15
이다. 그런데
P(E)P(F)=\frac35\times\frac25=\frac{6}{25}\ne\frac15
이므로 E와 F는 독립이 아니다. 또한 E∩F에는 1번과 3번 빨간 공이 포함되므로 교집합의 확률도 0이 아니며, 배반도 아니다.
학생은 표본공간이 바뀌면 먼저 사건을 새로 정의하고, P(E∩F)=0인지 확인한 뒤에 독립 조건 \(\,P(E∩F)=P(E)P(F)\,\)을 비교하는 순서를 유지했다.