감정동고1수학과외, 원점 대칭에서 두 좌표의 부호를 함께 바꾸는 판단
좌표평면 문제에서 점 \(P(4,-3)\)을 원점에 대하여 대칭이동한 점을 구할 때, 한 좌표만 바꾸어 \(P'(-4,-3)\)이라고 쓰는 경우가 있다. 그러나 원점 대칭은 점을 원점의 반대편으로 옮기는 변환이므로 \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 부호가 모두 바뀐다.
한 좌표만 바꾼 답이 왜 다른 대칭인가
원점 대칭의 좌표 변환은 다음과 같다.
\[ (x,y)\longrightarrow(-x,-y) \]
따라서 \(P(4,-3)\)은 \(P'(-4,3)\)으로 이동한다. 학생이 적은 \(P'(-4,-3)\)은 \(x\)좌표만 바뀐 점이므로 원점 대칭이 아니라 \(y\)축 대칭에 해당한다. 반대로 \((4,3)\)은 \(x\)축 대칭의 결과다.
이 차이는 부호 암기만의 문제가 아니다. 원점 대칭에서는 원점 \(O(0,0)\)이 두 점을 잇는 선분의 중점이어야 한다. 실제로
\[ \left(\frac{4+(-4)}2,\frac{-3+3}2\right)=(0,0) \]
이므로 \(P(4,-3)\)과 \(P'(-4,3)\)은 원점 대칭 관계다. 한 좌표만 바꾼 \((-4,-3)\)을 사용하면 중점은 \((0,-3)\)이 되어 원점 대칭 조건을 만족하지 않는다.
풀이 첫 줄에 좌표 변환을 고정하기
감정동에서 귀가 후 학교 프린트의 좌표 문제를 풀던 학생은 \(A(-2,5)\)의 원점 대칭점을 구하면서 \(x\)좌표만 바꾸어 \(A'(2,5)\)라고 적었다. 풀이를 시작하기 전에 대칭의 종류를 표시하지 않았고, 부호 두 개를 확인하는 줄도 남기지 않았다.
이때 풀이의 첫 줄을 다음처럼 고정하면 된다.
원점 대칭: \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\)
그러면
\[ A(-2,5)\rightarrow A'(2,-5) \]
가 된다. 좌표를 하나씩 읽으며 \(x:-2\rightarrow2\), \(y:5\rightarrow-5\)로 각각 바뀌었는지 확인한다. 정답을 맞힌 뒤에도 이 변환식을 쓰지 않았다면, 우연히 부호를 맞힌 것인지 판단할 수 없으므로 확인 항목으로 남긴다.
식으로 주어진 점도 같은 방식으로 처리하기
점 \(B(a-1,\,2a+3)\)의 원점 대칭점을 구하면 두 좌표 전체에 음수를 붙여야 한다.
\[ B'(-(a-1),\,-(2a+3)) \]
괄호를 풀면
\[ B'(1-a,\,-2a-3) \]
이다. 첫 번째 좌표만 바꾸어 \((1-a,2a+3)\)이라고 쓰면 \(y\)좌표가 그대로 남아 원점 대칭이 아니다. 문자식에서도 숫자 좌표와 마찬가지로 두 좌표에 각각 음수가 적용되는지 확인해야 한다.
그래프 문항에서 부호 확인을 실제로 수행하는지
새로운 그래프 문제에서 점 \(C(6,-1)\)을 원점 대칭한 위치를 표시하게 했을 때는 정답을 바로 알려주지 않고 문항 체류시간을 지킨다. 학생이 먼저 \((x,y)\rightarrow(-x,-y)\)를 적고 \(C'(-6,1)\)을 표시하는지, 또는 한 좌표만 바꾼 뒤 멈추는지를 관찰한다.
막힌 상태에서 제한 시간을 넘겨 붙들고 있지 않고 보류한 뒤 해결 가능한 문제로 이동하는지도 함께 기록한다. 이후 다시 돌아왔을 때 그래프의 점을 원점에서 같은 거리만큼 반대 방향에 표시하고, 두 좌표의 부호를 모두 바꾸는 판단을 스스로 남겼다면 적용 과정까지 확인한 것으로 본다.
시험 직전에는 새 문제보다 미완료 판단을 확인하기
시험 직전 새 교재의 문제를 계속 추가하기보다, 아직 부호 변환을 기록하지 않아 미완료로 남은 좌표 문제를 먼저 점검한다. 예를 들어 \(D(-7,-4)\)의 원점 대칭은 \(D'(7,4)\)이고, 두 점을 잇는 선분의 중점은
\[ \left(\frac{-7+7}{2},\frac{-4+4}{2}\right)=(0,0) \]
이다. 학생이 답만 고치는 데 그치지 않고 두 좌표의 부호를 모두 바꾸었다는 확인을 풀이에 남기는지가 최종 판단 기준이다.