청덕동고2수학과외에서 확인하는 연속의 세 조건
청덕동에서 청덕고등학교의 지필평가와 과제를 함께 준비하다 보면, 중학교 때처럼 식의 값만 계산하는 방식으로는 고2 함수 문제를 끝까지 설명하기 어렵다. 특히 통학과 과제 시간이 겹치는 시기에는 풀이를 빨리 마치려다 연속의 조건 중 하나만 확인하는 장면이 자주 나타난다.
f(2)만 맞추고 연속이라고 판단한 풀이
다음 함수가 x=2 에서 연속인지 살펴보자.
f(x)=
{ x²+kx+1 (x<2)
3x-1 (x≥2)
학생은 오른쪽 식에 2를 대입하여 f(2)=3·2-1=5를 구한 뒤, “함숫값이 있으므로 연속”이라고 적었다. 그러나 한 점에서의 연속은 함숫값 하나로 결정되지 않는다.
좌우극한과 함숫값을 따로 복원하기
연속이 되려면 다음 세 사실이 모두 성립해야 한다.
- f(2)가 존재해야 한다.
- limx→2 f(x)가 존재해야 한다.
- limx→2 f(x)=f(2)여야 한다.
이 문제에서는 먼저 좌우에서 다가가는 값을 분리한다.
좌극한: limx→2−f(x)=2²+2k+1=5+2k
우극한: limx→2+f(x)=3·2-1=5
좌우극한이 같으려면 5+2k=5이므로 k=0이어야 한다. 이때 공통 극한값은 5이고, 이미 구한 f(2)도 5이므로 세 조건이 모두 만족된다.
반대로 k가 0이 아니면 좌극한과 우극한이 달라진다. 따라서 f(2)=5가 존재하더라도 그 점에서 연속이 아니다. 학생의 풀이가 시작된 오류 지점은 f(2)를 계산한 뒤 좌우극한을 확인하지 않고 결론으로 넘어간 부분이다.
오류가 난 줄에서 바로 이어 쓰는 연습
풀이를 처음부터 다시 베껴 쓰지 않고, 잘못된 결론 바로 아래에 세 줄을 덧붙인다.
f(2)=5
limx→2−f(x)=5+2k,
limx→2+f(x)=5
연속 조건: 5+2k=5=f(2)
이렇게 쓰면 ‘함숫값 존재’, ‘극한 존재’, ‘극한값과 함숫값의 일치’가 각각 확인된다. 세 값 중 하나만 맞는 경우에는 연속이라고 결론 내리지 않는다.
표현과 부호를 바꾼 식에서도 같은 판단이 되는가
다음 함수에서는 연속이 되도록 m, n, c 사이의 관계를 세워 보자.
g(x)=
{ -x²+mx+4 (x<-1)
c (x=-1)
2x+n (x>-1)
이번에는 함숫값을 먼저 계산하는 대신, 기준점 x=-1에서 세 항을 각각 적는다.
limx→-1−g(x)=-(−1)²+m(−1)+4=3-m
limx→-1+g(x)=2(−1)+n=n-2
g(-1)=c
따라서 연속 조건은 하나의 식이 아니라
3-m=n-2=c
이다. 좌극한과 우극한만 같게 만드는 것으로 끝내면 안 되고, 그 공통값이 g(-1)과도 같아야 한다. 예를 들어 m=1, n=0이면 좌극한과 우극한은 모두 2가 되지만 c가 2가 아니면 불연속이다.
청덕고등학교의 시험 범위에서 식의 계수와 부호가 바뀌어도, 기준점에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 적는 순서가 유지되는지를 확인해야 한다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교를 참고하더라도 학교별 출제 여부를 단정하기보다, 어떤 표현의 함수가 나와도 세 조건을 식으로 재구성하는 데 초점을 둔다.