청덕동 고3수학과외에서 다루는 공간 좌표 거리 검산
청덕동의 청덕고등학교처럼 중학교보다 이동·과제·시험 부담이 커지는 고등학교 생활에서는 풀이를 빠르게 끝내는 것보다 문제의 조건이 실제 식에 필요한지 먼저 판단하는 습관이 중요하다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교는 참고 학교이며 청덕동 소재 학교로 구분하지 않는다.
앞 문제의 결론을 그대로 적용한 오답
학생은 공간에서 두 점 A(1, −2, 3), B(4, 2, −1) 사이의 거리를 구하면서 다음과 같이 계산했다.
AB² = (4−1)² + (2−(−2))² + (−1−3)² + 0²
= 9 + 16 + 16 + 0 = 41
따라서 AB = √41이라고 답했다. 하지만 마지막의 0²은 주어진 좌표에 없는 네 번째 성분을 임의로 추가한 항이다. 공간의 점은 (x, y, z) 세 성분으로 표현되므로 이 문제의 정확한 식은
AB² = (4−1)² + (2+2)² + (−1−3)²
= 3² + 4² + (−4)²
= 9 + 16 + 16 = 41
이다. 이 사례에서는 우연히 추가한 항이 0이라 답이 변하지 않았지만, 4차원처럼 생각한 판단 자체는 틀렸다. 좌표의 성분 수와 문제에서 요구한 공간을 먼저 확인해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 벡터로 되돌린 과정
학생은 답안의 “+ 0²”에 별표를 표시한 뒤, 점 A에서 B로 향하는 벡터를 다시 작성했다.
⃗AB = B − A = (4−1, 2−(−2), −1−3) = (3, 4, −4)
벡터의 성분이 세 개뿐임을 확인한 뒤 각 성분의 제곱을 합성했다. 또한 계산 결과가 원식과 맞는지 역으로 확인하기 위해
√(3² + 4² + (−4)²) = √41
을 대입했다. 좌표 차이의 세 성분이 각각 3, 4, −4이므로 거리의 제곱이 41이 되는 것도 확인했다. 그래프를 그릴 때도 네 번째 축을 만들지 않고, x·y·z 세 축에서 점의 위치와 이동 벡터를 표시했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 점 C(−2, 1, 5), D(1, 5, 2)의 거리를 새로 계산했다.
⃗CD = (1−(−2), 5−1, 2−5) = (3, 4, −3)
따라서
CD² = 3² + 4² + (−3)² = 9 + 16 + 9 = 34
이므로 CD = √34이다. 학생은 이번에는 네 번째 항을 넣지 않고, 좌표 차이를 먼저 벡터로 만든 다음 거리식을 적용했다. 마지막으로 √34를 제곱해 34가 되는지 확인하여 원래 식과의 일치도 검산했다.